Курс высшей математики

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики, которое может быть полезно для организации учебного процесса на факультете дистанционного обучения при самостоятельной подготовке студентов к экзаменам. Оно поможет без помощи преподавателя организовать планомерное изучение материала не только основных понятий и положений теории, но и основных приемов и методов решения задач.

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом.

Функции Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f(x) или y = y(x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f(x). Обозначим множество всех значений функции, т.е. {f(x)|x A}, через B.

Пределы функции на бесконечности Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Предел функции в точке Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f(x) может быть и не определена.

Бесконечно-малые функции и их свойства Функция a(х) называется бесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а (х   + ¥, х ®¥, x ® x0 – 0, х ® x0 + 0), если a(х) = 0.

Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями

Основные теоремы о пределах

Первый замечательный предел Рассмотрим функцию y = , аргумент x (как всегда в математическом анализе) выражается в радианах. При x = 0 функция  не определена.

Второй замечательный предел Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва Пусть функция f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Если существует  и , то функция f(x) называется непрерывной в точке x0, а x0 называется точкой непрерывности функции f(x).

Рассмотрим операции над непрерывными функциями.

Свойства функций, непрерывных на отрезке Определение. Если функция f(x) определена на отрезке [a, b], непрерывна в каждой точке интервала (a, b), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].

Дифференциальное исчесление функции одной переменной Понятие производной, ее геометрический и механический смысл Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Производные некоторых элементарных функций Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x0X и f(x) дифференцируема в точке x0, т.е. производная  существует.

Основные правила дифференцирования Установим правила, по которым можно находить производные суммы, произведения, частного двух функций, производную сложной функции, зная производные этих функций, а также производную обратнгой функции.

Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций

Дифференцирование функций, заданных неявно. Логарифмическое дифференцирование

Дифференциал функции

Производные и дифференциалы высших порядков Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y'' или (x).

Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке x0 существует производная этой функции, то  = 0.

Правило Лопиталя В главе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа  и . В этом разделе мы рассмотрим новый способ вычисления таких пределов, так называемое правило Лопиталя.

Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.

Возрастание и убывание функций Теорема. (Достаточное условие возрастания функции)

Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба Пусть f(x) – функция, дифференцируемая на интервале (a, b). Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции y = f(x).

Асимптоты При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Решение типовых задач Предел функции При вычислении пределов следует помнить о типовых пределах, которые непосредственно можно получить из определений соответствующих функций.

Производная функции Основные правила нахождения производной

Дифференциал функции Пример. Найти .

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей типа  и .

Исследование функций и построение их графиков

Пример. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию   и построить ее график.

Пример. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию   и построить ее график.

Пределы числовых последовательностей и функций. Образец выполнения типового расчёта № 1. Задание. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость

Типовой расчёт № 2 Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной

Образец выполнения типового расчёта № 3. Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .

Интегрирование. Образец решения типового расчёта № 4. Задание 1. Найти неопределённые интегралы: .

Производная и дифференциал функции двух переменных. Исследование функции двух переменных. Образец решения типового расчёта № 5. Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .

Задачи приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла, вычисление интеграла по определению. Необходимый признак интегрируемости

Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем (без док.) Геометрический смысл. Среднее значение функции.

Теорема (Ньютона-Лейбница, формула) Если F(х)- есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f(х), то справедлива формула: .

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры (вывод формулы в полярной системе), длины дуги (вывод формулы в ДСК), объема тела вращения относительно Ox (вывод формулы)

Признаки сходимости. Первый признак сравнения(теорему доказать). Второй (предельный) признак сравнения(без док.)

Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла (доказать) Теорема: Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и сходится.

Понятие функции нескольких переменных. Область определения, область значений, график, линии (поверхности) уровня.

Непрерывность ФНП

Понятие частной производной ФНП. Геометрический и физический смысл. 

Свойства дифференцируемой ФНП в точке: теорема о непрерывности дифференцируемой функции и теорема о необходимом условии дифференцируемой функции (2 теоремы – доказать), теорема о достаточном условии дифференцируемости функции и следствие

Теорема о дифференцировании сложной функции

Понятие производной по направлению

Экстремум ФНП. Теорема о необходимом условии существования экстремума

Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши. Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала.

Основные виды ДУ: с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах.

Определение общего решения ДУ порядка выше первого, частное решение. Д.У. n-го порядка называется уравнение, которое содержит независимую переменную x, искомую функцию у, ее производную n-го порядка.

Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов для уравнений со специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных (вывод рабочей формулы).

Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой частичной суммы, сходящегося и расходящегося ряда.

Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами

Признак Даламбера, радикальный и интегральный Коши

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно сходящемся ряде(док). Знакопеременные ряды - это ряды, которые содержат бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. На ряду со знакопеременным рядом рассматривается ряд из абсолютных значений членов знакопеременного ряда

Функциональные ряды. Основные понятия: область и точка сходимости, равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса (док.). Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от x u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+…=un (x). Совокупность значений аргумента, при которых функ-й ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена

Признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции

Физика, начертательная геометрия - лекции и примеры решения задач