Энергетика
Физика
Электротехника
Курсовой
Реакторы
Математика
Лабораторные
Дизайн

Информатика

Задачи
Сопромат
Термех
Геометрия
Конспекты
Графика
На главную

Физика Примеры решения задач и конспект лекций

Суммирование ряда теории возмущений для волновой функции

Чтобы получить точное решение уравнения (18), введём функцию Грина возмущённой задачи (полную функцию Грина) . Она подчиняется уравнению

 .

Ее разложение в ряд теории возмущений имеет вид:

или в символической форме:

. (29)

Как видно из последнего выражения, имеется интегральное уравнение:

.

Используя представление (27), легко вывести соотношение

,  (30)

из которого следует, что функция Грина  описывает перенос (распространение) квантовой частицы из точки  в точку  при . Поэтому функцию называют пропагатором (функцией распространения) для невозмущенной задачи.

Учитывая (30), выражение (28) преобразуем следующим образом. Волновую функцию , входящую в (28), заменим интегральным представлением (30):

 

(31)

Если в фигурных скобках выражения (31) оставить лишь первые два члена разложения, получится выражение (28), справедливое лишь с точностью до первого порядка теории возмущений. Нетрудно убедиться в том, что выражение (31) подчиняется уравнению (18) и в силу равенства

  (32)

удовлетворяет необходимому начальному условию: . Значит, формула (31) дает искомое решение уравнения (18). Справедливость равенства (32) вытекает из следующего представления функции Грина:

где  - решения временного уравнения Шредингера (18), образующие полную систему функций. Равенство (32) является условием полноты этой системы.

Таким образом, точное решение временного уравнения Шредингера может быть выражено, согласно (31), через полную функцию Грина.

 Отметим, что разложение функции Грина в ряд теории возмущений и интегральное уравнение для функции Грина описываются графически следующим образом (см. (29)):

где тонкая линия изображает нулевую функцию Грина , жирная – полную функцию Грина , крестик описывает рассеяние на внешнем поле .

 Амплитуда вероятности перехода квантовой системы из состояния  в момент времени  в состояние   к моменту времени  (см. раздел 4) совпадает со скалярным произведением

 .

Подставляя в эту формулу разложение (21) волновой функции, находим:

 

Следовательно, искомая вероятность  перехода  дается формулой:

,

где амплитуду вероятности, в соответствии с (31), можно представить в виде:

.  (33)


Информатика

Веб-технологии
Лабораторные
ТОЭ
Математика
Решить интеграл
Черчение