Кинематика равномерного движения по окружности Основные понятия квантовой механики Простейшие задачи квантовой механики Движение микрочастицы в кулоновском поле


Физика Примеры решения задач и конспект лекций

Момент импульса микрочастицы

Оператор квадрата момента импульса Чтобы найти собственные значения операторов момента, перейдём к сферической системе координат

Мультиплеты и спин электрона Характерной особенностью квантовой системы является квантование энергии, состоящее в том, что энергия частицы может принимать лишь отдельные, дискретные значения. О таких значениях энергии говорят как об энергетических уровнях. Процессы испускания и поглощения света веществом происходят в результате квантовых переходов электронов в атомах с одного уровня энергии на другой. Рассмотрим квантовую систему с двумя уровнями энергии -  и . При переходе электрона  излучается фотон с частотой .

Расщепление спектральных линий в магнитном поле Рассмотрим атом с одним валентным электроном, находящийся во внешнем однородном магнитном поле , которое направлено вдоль оси .

Полный момент импульса является суммой орбитального  и спинового  моментов: .

Движение в кулоновском поле

Сферические волны Плоская волна описывает стационарное состояние свободной квантовой частицы с импульсом   и энергией . Рассмотрим такое состояние, в котором, наряду с энергией, определены также величина и проекция момента импульса

Теория возмущений

Возмущение при наличии вырождения Считаем, что собственному значению  нулевого гамильтониана  отвечает несколько собственных функций:   (- кратность вырождения). Вместо этих функций можно взять произвольную линейную комбинацию .

Временная теория возмущений. Квантовые переходы. Функция Грина Рассмотрим уравнение Шредингера в некотором внешнем поле, которое будем считать малым возмущением : .

Суммирование ряда теории возмущений для волновой функции Чтобы получить точное решение уравнения (18), введём функцию Грина возмущённой задачи (полную функцию Грина) .

Теория возмущений для оператора эволюции

Испускание и поглощение фотонов квантовой системой Рассмотрим вероятность перехода атома с одного уровня на другой под действием электромагнитного поля. Пусть электромагнитное поле, вызывающее переход, монохроматично: . Если  - линейные размеры атома, то в пределах атома фаза изменяется на величину порядка . Считаем, что .

Теория столкновений

Точная теория рассеяния. Фазы рассеянных волн и эффективное сечение Вернёмся к точному уравнению (3). Решение этого уравнения, отвечающее энергии , квадрату момента  и проекции момента , выражается через шаровую функцию: .

-оператор и матрица рассеяния В предыдущем разделе мы ввели матрицу рассеяния, исходя из стационарного уравнения Шредингера. Рассмотрим теперь подход, основанный на использовании временной теории возмущений. Пусть до момента времени  система находилась в состоянии , затем включается возмущение и в момент времени , когда выключается возмущение, ищется вероятность перехода в некоторое состояние   (). Если  - оператор временной эволюции, то состояние системы в момент  будет:

Системы одинаковых квантовых частиц

Постановка задачи вторичного квантования Вторичное квантование - это особый метод рассмотрения квантовых систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц. Пусть  - полная ортогональная система волновых функций, описывающих стационарные состояния одной частицы с квантовыми числами . Рассмотрим квантовую систему   невзаимодействующих частиц, из которых   частиц описываются волновой функцией ,  - волновой функцией  и т.д. с полным числом частиц .

Движение микрочастицы в кулоновском поле

Содержание

Движение в поле центральной силы.

Движение в кулоновском поле.

Сферические волны.

Движение в поле центральной силы

 Рассмотрим микрочастицу в центрально-симметричном поле. Такое поле характеризуется тем, что в нём имеется характерная точка, называемая силовым центром, которая обладает следующим свойством: если силовой центр поместить в начале координат, то закон действия силы запишется в виде:

.

Вычислим элементарную работу , совершаемую силой  над частицей при ее перемещении :

Как видим, потенциальная энергия частицы  в центрально-симметричном поле зависит только от  (от расстояния частицы до силового центра): .

 Значит, оператор Гамильтона рассматриваемой системы дается формулой

.  (1)

Оператор Лапласа в сферических координатах представим в виде

  , (2)

где  - оператор Лапласа для сферы:

.  (3)

Очевидно, что оператор кинетической энергии можно записать следующим образом:

, (4)

где первое слагаемое () даёт кинетическую энергию, соответствующую движению вдоль радиуса-вектора, а второе слагаемое - кинетическую энергию трансверсального движения.

 Учитывая, что шаровые функции  являются решением задачи на собственные значения оператора ,

,

собственные функции оператора Гамильтона  (1) ищем в виде:

.  (5)

Радиальная функция  подчиняется уравнению:

.  (6)

Энергетический спектр определяется уравнением (6), если волновую функцию подчинить стандартным условиям. Очевидно, что энергия микрочастицы зависит от орбитального момента , но не зависит от магнитного квантового числа   и, кроме того, зависит от вида потенциальной энергии. Имеет место, таким образом, -кратное вырождение уровней энергии: : все состояния с   имеют одну и ту же энергию. Указанное вырождение объясняется тем, что мы рассматриваем поле, обладающее центральной симметрией, в котором все направления в пространстве равноправны, и поэтому энергия не может зависеть от ориентации в пространстве момента импульса.

 Решение уравнения (6) запишем так:

.  (7)

Легко проверить, что выполняется соотношение (здесь и далее массу электрона  мы обозначаем через , чтобы отличать ее от магнитного квантового числа )

.

И поэтому подстановка функции  (7) в уравнение (6) приводит к следующему уравнению для :

.  (8)

Отметим, что уравнение (8) по вешнему виду совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения частицы в поле с потенциальной энергией

 ,

причем роль координаты играет модуль радиуса-вектора .

Рассмотрим асимптотику решений уравнения (8) при , считая, что . Сохраняя основные по величине члены, найдём

.

Обозначая

  при  и  при , (9)

общее решение уравнения представим в форме:

  (10)

 При  решение конечно для любого , т.е. спектр энергии непрерывен. Соответствующие ему состояния отвечают апериодическим орбитам в классической механике, когда частица движется из бесконечности к силовому центру и опять уходит на бесконечность. Такие состояния называются состояниями рассеяния. Так как состояние стационарно, то поток приходящих частиц равен потоку уходящих, т.е . Если положить:

,

то, очевидно,

. (11)

Последняя формула описывает стоячую сферическаю волну. Функция (11) представляет собой асимптотику волновой функции при  в области .

 При  положение иное. Теперь условие конечности   при  даёт: . Значит, решение таково:

.  (12)

Такие состояния отвечают периодическим орбитам в классической механике, когда частица движется у силового центра (вне этой области волновая функция экспоненциально затухает по мере удаления от центра); они называются связанными состояниями.

  Анализ поведения решений вблизи центра () показывает, что решения оказываются конечными лишь при избранных значениях энергии . Это ведёт к дискретному энергетическому спектру – получается система квантовых уровней энергии.

 Таким образом, энергетический спектр частицы в поле центральной силы состоит из двух частей - непрерывной и дискретной.

Волновая функция  зависит от энергии , а также от  и , т.е. энергия , квадрат момента импульса и его проекция на выделенное направление в пространстве – это полный набор физических величин, определяющих движение в центрально-симметричном поле.


На главную