Кинематика равномерного движения по окружности Основные понятия квантовой механики Простейшие задачи квантовой механики Движение микрочастицы в кулоновском поле


Физика Примеры решения задач и конспект лекций

Принцип причинности в квантовой механике. Временное уравнение Шредингера Согласно основному постулату квантовой механики, волновая функция   полностью описывает поведение системы. Это значит, что, зная волновую функцию в момент времени , можно определить волновую функцию в следующий момент времени . Нахождение волновой функции в момент времени   по известной волновой функции в предыдущий момент  составляет основную задачу квантовой динамики. Для решения этой задачи нужно знать временное уравнение, описывающее изменение во времени (временную эволюцию) волновой функции.

Стационарные состояния Попытаемся получить стационарное состояние, исходя из временного уравнения Шредингера (8). Рассмотрим квантовую систему, оператор Гамильтона которой не зависит явно от . В этом случае  - оператор полной энергии. Очевидно, существуют такие решения уравнения (8), которые имеют мультипликативную форму: .

Представления Шредингера и Гейзенберга

Уравнение непрерывности в квантовой механике

Квантовые скобки Пуассона Запишем операторы координаты и импульса в представлении Гейзенберга:

Интегралы движения

Движение квантовой частицы в однородном электрическом поле Пусть на частицу с зарядом  действует электрическое поле с напряженностью . Если , то потенциал поля можно взять в виде . Тогда потенциальная энергия частицы составит: .

Квантовый гармонический осциллятор В классической механике полная энергия осциллятора дается формулой , где  - масса частицы,  - собственная частота осциллятора. Выполняя здесь замену , получаем оператор Гамильтона. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:

Частица в потенциальной яме Рассмотрим движение квантовой частицы в прямоугольной потенциальной яме

Туннельный эффект Рассмотрим потенциальный барьер высотой  в области , на который падают свободные частицы. Имеются три области – области I и III, в которых , и область II, в которой . Рассмотрим частицы с энергией . В классической механике так как  (- кинетическая энергия частицы). Значит, классическая частица не может проникнуть вглубь барьера. Точка  является точкой поворота: столкнувшись с барьером, частица отражается и летит в обратном направлении. Если , то классическая частица беспрепятственно проходит область II над барьером.

Два типа туннельных эффектов В предыдущем разделе мы рассмотрели свободные электроны, падающие на барьер. При этом оказалось, что , т.е. эти величины не зависят от координат. Поэтому , т.е. при прохождении свободного электрона сквозь барьер не возникает источников или стоков вектора . Прохождение свободного электрона сквозь барьер будем называть туннельным эффектом первого типа. В силу уравнения непрерывности , в этом случае . Значит, туннельный эффект первого типа - это стационарный процесс, состоящий в том, что свободные электроны перемещаются из одной области пространства в другую, разделённые потенциальным барьером конечной ширины.

Простейшие задачи квантовой механики

Содержание

Свободное движение квантовой частицы. Фазовая ячейка.

Движение квантовой частицы в однородном электрическом поле.

Квантовый гармонический осциллятор.

Частица в потенциальной яме.

Туннельный эффект.

Два типа туннельных эффектов.

Примеры туннельных переходов второго типа.

Свободное движение квантовой частицы. Фазовая ячейка

Рассмотрим движение квантовой частицы в отсутствие силового поля, т.е. при . Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний (для одномерного движения)

  (1)

можно записать в виде

.  (2)

Подстановка (2) в (1) приводит к следующему выражению для энергии частицы: . Значит, энергетический спектр свободной квантовой частицы непрерывен и ограничен снизу: .

  Вычисляем плотность вероятности нахождения частицы в данной точке:

 .

Последнее равенство означает, что свободная частица с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства, т.е. она равномерно размазана по всему пространству. Поэтому интеграл нормировки волновой функции оказывается расходящимся:

.

Возникшее затруднение устраняется, если считать, что движение частицы происходит лишь в области , где  - очень большое, но конечное число. На волновую функцию накладываем условие периодичности (циклическое граничное условие) , означающее, что точки на оси , отстоящие друг от друга на , эквивалентны. Подставляя в условие периодичности выражение (2) для волновой функции, получаем уравнение

,

решение которого имеет вид:

.  (3)

Согласно (3), импульс и энергия свободной частицы принимают лишь избранные значения, т.е. квантуются: . Так как ширина области, в которой происходит движение частицы (основная область), очень велика, то получается квазинепрерывный спектр энергии – расстояние между уровнями энергии очень мало. Из условия нормировки  вычисляем постоянную нормировки волновой функции: .

 Число квантовых состояний, импульсы которых лежат в интервале , а координата  лежит в области , определим с помощью формулы (3):

 .

Аналогично определяем число квантовых состояний  и , соответствующих движению частицы вдоль координатных осей  и . Полное число квантовых состояний, приходящихся на интервал  в пространстве импульсов и на объем , составляет (в случае трехмерного движения):

, (4)

где .

 Правая часть равенства (4) представляет собой отношение объема области фазового пространства, в которой происходит движение частицы, к объему  некоторой области фазового пространства, которая называется фазовой ячейкой. Последнюю естественно интерпретировать как такую область, которая приходится на одно квантовое состояние свободной частицы (при трехмерном движении). Напомним, что в классической механике одному состоянию частицы соответствует точка  в фазовом пространстве. Как видим, в квантовой механике на одно квантовое состояние приходится целая область фазового пространства объемом . Очевидно, эта особенность квантового состояния обусловлена тем, что квантовая частица подчиняется корпускулярно-волновому дуализму.


На главную