Энергетика
Физика
Электротехника
Курсовой
Реакторы
Математика
Лабораторные
Дизайн

Информатика

Задачи
Сопромат
Термех
Геометрия
Конспекты
Графика
На главную

Физика Примеры решения задач и конспект лекций

Стационарные состояния

Попытаемся получить стационарное состояние, исходя из временного уравнения Шредингера (8). Рассмотрим квантовую систему, оператор Гамильтона которой не зависит явно от . В этом случае  - оператор полной энергии. Очевидно, существуют такие решения уравнения (8), которые имеют мультипликативную форму:

.  (9)

Подставляя (9) в (8) и разделяя переменные, найдём:

 .

Так как левая часть этого равенства зависит только от , а правая - только от , то это равенство может выполниться лишь в случае, если его левая и правая части равны одной и той же константе. Обозначая эту константу через , получим задачу на собственные значения для оператора Гамильтона

 (10)

и уравнение

Решение последнего уравнения имеет вид:

.

Обозначая собственные значения оператора Гамильтона через , а собственные функции через , получим решение уравнения (8) в виде:

.  (11)

Это волновая функция состояния с определённым значением энергии, т.е. волновая функция стационарного состояния.

Как видно из (11), волновая функция стационарного состояния изменяется со временем по гармоническому закону. При этом плотность вероятности не зависит от времени:

.

Это приводит к тому, что в стационарном состоянии среднее значение физической величины не зависит от времени.

4. Оператор временной эволюции

Решение задачи Коши для уравнения (8) можно записать так:

,  (12)

где - некоторый оператор, удовлетворяющий условию . Подставляя (12) в (8), получаем:

.

Потребуем, чтобы выполнялось уравнение

.  (13)

Оператор , удовлетворяющий уравнению (13) и подчиняющийся условию , называется оператором временной эволюции. Если  не зависит от , то

. (14)

Умножим слева обе части уравнения (13) на оператор , а уравнение, эрмитово сопряженное к уравнению (13), умножим справа на :

Вычитая теперь почленно из первого уравнения второе, получаем:

  (т.к. ).

Оператор , подчиняющийся условию , называется унитарным. Отметим, что из равенства  следует равенство , если только существует обратный оператор .

Решение временного уравнения Шредингера сводится, таким образом, к нахождению оператора эволюции, который является унитарным.

Рассмотрим интеграл нормировки волновой функции:

.

Как видим, интеграл нормировки не зависит от . Это следует из условия унитарности оператора эволюции. Условие унитарности оператора  позволяет ввести вероятностную интерпретацию волновой функции.


Информатика

Веб-технологии
Лабораторные
ТОЭ
Математика
Решить интеграл
Черчение