Поляризация диэлектриков Расчет напряженностей и потенциалов электрических полей Кинематика Задачи с использованием графиков


Физика Примеры решения задач и конспект лекций

Квантовая гипотеза Планка День рождения квантовых представлений – 14.12.1900. Предварительные результаты были доложены немного раньше – 19 октября 1900 г., когда была доложена работа, в которой выведена новая формула для излучения. Эта работа была опубликована в 1901 г. Напомню, что основной энергетической характеристикой равновесного теплового излучения является плотность энергии . Мы ограничимся излучением абсолютно чёрного тела, т.е. такого тела, которое полностью поглощает электромагнитное излучение, падающее на тело.

Световые кванты Таким образом, с одной стороны, свет - это электромагнитные волны, а с другой – свет, согласно гипотезе Планка, испускается и поглощается в виде отдельных порций. И получается так, как если бы свет состоял из отдельных частиц. Классическая физика исходит из того, что существует принципиальное различие между волнами и частицами (корпускулами). Классическая частица – это сгусток вещества, комочек материи, сосредоточенный в очень малом объёме. Волна же – такой материальный объект, который занимает более или менее значительные области (линейные размеры которых ,  - длина волны), так как это периодический процесс. Частица движется по траектории. Применительно же к волне понятие траектории не имеет смысла. Волны могут интерферировать, испытывать дифракцию при их наложении. Частицы же к этому не способны. Можно сказать, что движение по траектории и волновое движение – качественно различные виды движения: это несовместимые противоположности.

Элементарные процессы взаимодействия и законы сохранения Одним из важнейших, принципиальных вопросов электродинамики является вопрос о механизме взаимодействия электромагнитного излучения с веществом. Ответ на него – важнейшая задача физики. Напомню, в чём состоит классический механизм. Если заряженную частицу поместить в электромагнитное поле, то возникает действующая на частицу сила Лоренца, под влиянием которой частица совершает вынужденные колебания. На процесс раскачивания частицы затрачивается энергия электромагнитной волны – происходит поглощение энергии электромагнитного поля заряженной частицей.

 Рассмотрим примеры квантовых процессов. Фотоэффект – это вырывание электронов из металла под действием электромагнитной волны. На квантовом языке происходит следующее: в начальном состоянии имеется электрон, связанный с проводником, и фотон с энергией . Чтобы вырвать электрон из металла и перевести его из связанного состояния в свободное, нужно произвести некоторую работу. Та наименьшая работа, которую нужно произвести, чтобы вырвать электрон из металла, называется работой выхода, обозначим ее через А. Значит, в начальном состоянии имеется электрон с энергией , знак « - » означает, что электрон находится в связанном состоянии в металле, и фотон с энергией . В результате взаимодействия фотон поглощается, а электрон переходит в свободное состояние с энергией . Кроме того, часть энергии превращается в тепловую энергию, т.к. вырванный электрон сталкивается с окружающими атомами и передаёт им часть энергии

Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул идею о том, движение любой частицы вещества представляет собой волновой процесс, частота  и волновой вектор  которого определяются равенствами (см. (11)) , где Е и  - энергия и импульс частицы. Подставляя во второе из приведенных равенств формулу  , получаем формулу де Бройля . (16)

Принцип суперпозиции

Среднее значение координат и импульсов

Свойства операторов физических величин В квантовой механике используются линейные операторы, т.е. операторы, обладающие свойствами:  (15) где , - произвольные функции, а - произвольная постоянная. Оператор физической величины должен обладать еще одним свойством: он должен быть эрмитовым (самосопряженным).

Собственные значения и собственные функции операторов. Задача на собственные значения операторов Поставим задачу: найти такие состояния микросистемы, в которых физическая величина имеет строго определённые значения.

Измерение физических величин в квантовой механике Вероятность результатов измерения физической величины. Условие возможности одновременного измерения разных физических величин. Соотношения неопределенностей и их физические следствия.

Условие возможности одновременного измерения разных физических величин Рассмотрим состояние частицы с определённым значением координаты. Такое состояние описывается волновой функцией  

Соотношения неопределенностей и их физические следствия Рассмотрим отклонение результата измерения координаты от среднего значения, т.е. абсолютную погрешность координаты: . Так как , то за меру отклонения индивидуальных измерений от среднего значения принимают не , а среднее квадратичное отклонение .

Волновая функция и измерения. Редукция волновой функции Измерение физической величины представляет собой процесс взаимодействия системы, над которой проводят измерение, с прибором. Нас интересует квантовая система. В результате этого взаимодействия прибор  переходит из начального в некоторое другое состояние, и по этому изменению состояния прибора мы судим о состоянии квантовой системы. Пусть состояние прибора характеризуется величиной g (показания прибора). Волновую функцию прибора обозначим через ,  - совокупность координат прибора. Прибор будем считать классическим, т.е. подчиняющимся классической механике.

Уравнение Шредингера

Основные понятия квантовой механики

Волновая функция и ее физическая интерпретация (плотность вероятности, нормировка волновой функции, неоднозначность волновой функции в виде фазового множителя ).

Принцип суперпозиции в квантовой механике (разложение в ряд Фурье, волновая функция в импульсном представлении).

Среднее значение координат и импульсов (оператор физической величины, принцип соответствия).

Свойства операторов физических величин (линейность, эрмитовость, некоммутативность), оператор отклонения физической величины от среднего значения.

Задача на собственные значения операторов (состояния, в которых физические величины строго определены, стандартные условия, спектр оператора, квантование физических величин).

Свойства собственных функций. Полная ортонормированная система функций.

 I. Волновая функция и ее физическая интерпретация

Согласно гипотезе де Бройля, любой частице можно поставить в соответствие волновой процесс с длиной волны . Зная длину волны, по формулам  и  можно определить волновое число и частоту, отвечающие движению частицы. Но достаточно ли знать частоту  и длину волны  для количественного описания волновых свойств микрочастиц? Напомню, что для описания электромагнитных волн используются, помимо  и , напряженность электрического поля  и магнитная индукция , которые зависят от  и . По аналогии с электродинамикой естественно предположить, что волна де Бройля описывается некоторой функцией, зависящей от координат и времени. Эту функцию будем обозначать через

  (1)

и называть волновой функцией или - функцией.

Квантовая механика исходит из предположения (это основной постулат квантовой механики), что состояние микрочастицы описывается функцией (1) координат и времени, которая интерпретируется вероятностным способом: величина

  

является плотностью вероятности нахождения частицы в данной точке пространства   в момент времени . Волновая функция содержит полную физическую информацию о поведении частицы. В квантовой механике она играет такую же роль, какую векторы  и  играют в электродинамике.

Вероятность того, что частица в момент  находится в области пространства объёмом , лежащей в окрестности точки , определяется формулой

.  (2)

Если эту величину проинтегрировать по объёму всего пространства, то получим вероятность события, состоящего в том, что частица в момент времени   находится где-нибудь в пространстве. Это достоверное событие: согласно теории вероятности, его вероятность равна 1. Значит,

,  (3)

где  - объем всего пространства. Равенство (3) называется условием нормировки волновой функции. Волновая функция, подчиняющаяся условию (3), называется нормированной.

 Отметим, что существуют такие состояния микрочастицы, для которых интеграл расходится и, следовательно, волновая функция не может быть нормирована условием (3). Примером могут служить состояния свободной квантовой частицы (см. лекцию 5). Один из способов действий в такой ситуации состоит в следующем. Поскольку движение реальной физической системы всегда происходит в ограниченной области пространства, то представляется естественным ограничиться рассмотрением движения частицы в некоторой области пространства, линейные размеры которой достаточно велики, но конечны. Очевидно, что в указанной области пространства волновая функция частицы может быть нормирована на единицу. Предельный переход к бесконечному пространству можно выполнить, в случае необходимости, в самом конце вычислений.

Волновая функция определяется с точностью до фазового множителя. Так как фазовый множитель выпадает из выражения для плотности вероятности , то функции  и  физически эквивалентны, если только. Эта неоднозначность не отражается на физических результатах, поскольку все физические величины выражаются через .


На главную