Учебник Теория электрических цепей Примеры выполнения заданий и лабораторных

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12

Исследование переходных процессов в линейной электрической цепи второго порядка

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является уяснение сущности переходных процессов в электрических цепях второго порядка, развитие навыков теоретического анализа и экспериментального исследования переходных режимов в подобных цепях.

2. УКАЗАНИЯ К РАБОТЕ

Процессы, возникающие в электрических цепях при переходе из одного установившегося режима к другому . называются переходными. Переходные процессы возникают в цепях при коммутации, внезапном изменении параметров, коротких замыканиях и т.д. Во время переходных процессов токи и напряжения в цепях определяются не только источниками энергии, но и реактивными элементами, способными накапливать энергию (накопителями).

Как известно, энергия в макромире не изменяется скачком, поэтому ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут измениться мгновенно (скачком). 

Законы коммутации

1. В цепи с индуктивным элементом ток в начальный момент времени после коммутации имеет то же значение, которое он имел непосредственно перед коммутацией, а затем он начинает плавно изменяться с этого значения.

2. Напряжение на емкости в начальный момент времени после коммутации имеет то же значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения оно начинает плавно изменяться.

В настоящей лабораторной работе исследуется цепь с двумя накопителем энергии индуктивностью и емкостью. Подобные электрические цепи называют цепями второго порядка. 

RLС-цепь изображена на рис.1. В общем случае уравнение переходного процесса для подобной цепи имеет вид

 L + R +i =  (1)

Решение данного дифференциального уравнения представляет собой сумму двух составляющих свободного и установившегося. Свободная составляющая тока есть общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а установившаяся составляющая находится как частное решение неоднородного уравнения и определяется правой частью уравнения (1). Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид

 Lp2 + Rp + 1/C = 0 . (2)

Корни уравнения (2)

 p1,2 = -  , (3)

или

 p1,2 = - , (4)

где: d = R/2L коэффициент затухания;  w0 =  резонансная частота.

Полный ток в цепи определяется уравнением

 i(t) = iуст + A1 exp(p1t) + A2 exp(p2t) (5)

При включении данной цепи на постоянное напряжение U0 уравнение процесса приобретает вид

 L + R +i = 0 . (6)

Имея в виду нулевые начальные условия, после некоторых преобразований для тока цепи получаем

 i(t) = . (7)

Как известно, возможны три случая:

Корни действительные отрицательные числа p1 ¹ p2, процесс является апериодическим. Ток выражается формулой

 i(t) = ; (8)

При больших С влияние емкости мало и кривая тока приближается к кривой тока в цепи RL, при малых значениях L кривая тока близка к кривой тока в цепи RC;

Корни действительные, причем p1 = p2, критический (предельный) случай апериодического процесса, ток в этом случае определяется формулой

 i(t) = (U0/L)t exp(-dt); (9)

Наименьшее активное сопротивление контура, при котором процесс является апериодическим, называется критическим сопротивлением и может быть определено из формулы Rкр = 2;

Корни комплексные сопряженные p1,2 = -d ± jwсв , где wсв = - угловая частота свободных или собственных колебаний в цепи RLC. В цепи имеет место колебательный процесс и ток выражается зависимостью

 i(t) = (U0/wсвL) exp(-dt) sin(wсвt). (10)

Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей энергии в сопротивлении. Величину 1/d = 2L/R называют постоянной времени колебательного контура.

Если начальные условия являются ненулевыми, например, начальное напряжение на емкости равно Uc , то выражение для тока изменяется приобретая вид

 i(t) = . (11)

Такое положение имеет место при переключении с одного постоянного напряжения на другое.


На главную