Решение задач по физике примеры

Физика
Атомная энергетика
Оптика
Физические основы механики
Квантовая механика
Электротехника
Расчеты цепей постоянного тока
Расчет трехфазной цепи
Лабораторные работы
Исследование полупроводниковых выпрямителей
Закон Ома 
Расчет электрических цепей
Электрические машины переменного тока
Электронные усилители и генераторы
Трехфазные выпрямители
Энергетика
Электрические сети энергосистем России
Основы энергосбережения
Экологические проблемы энергетики
Концепция развития атомной энергетики
Ядерный реактор
Быстрые реакторы
Ядерное оружие
Начертательная геометрия
Аксонометрические проекции
Взаимопринадлежность геометрических фигур
Конические сечения
Метод проецирующих секущих плоскостей
Метрические задачи
Инженерная графика
Спецификация
Основная надпись
Обозначения графические материалов
Правила нанесения размеров
Сопряжение
Геометрические построения
Метод проекций
Позиционные задачи
Курс «Детали машин»
Решение метрических задач
Информатика
Компьютерные сети
Курс лекций по информатике
Служба имен доменов DNS
Электронная почта
Пересылка писем
Браузеры
Протокол ftp
XHTML
Повышение производительности
Беспроводные веб-технологий
Цифровая обработка звука
Интернет-радио
Видео
Прокладка оптоволоконного кабеля
История искусства
Романская и готическая архитектура
Архитектура ренессанса
Нотер-Дам-де-Пари
Архитектура Германии
Русское деревянное зодчество
Русское барокко
Русский классицизм
Математика
Курс высшей математики
Математическая логика
Предел и непрерывность функции
Непрерывность функции в точке
Вычислить производную функции
Вычислить интеграл
Метод замены переменной

 

Общие свойства гармонических колебаний.

Точка совершает гармонические колебания, если её отклонение от положения равновесия зависит от времени по закону:

x(t) = A×cos(wt + j0). 

Параметр А называется амплитудой, w - циклической (круговой) частотой, (wt + j0) – фазой, j0 – начальной фазой колебаний. Величина T = 2p/w называется периодом колебаний.

 Дифференцируя (1.1) по времени, получаем зависимости скорости колеблющейся по гармоническому закону точки и её ускорения от времени:

Задача Частица совершает гармонические колебания по оси X. В некоторый момент времени смещение частицы от положения равновесия x1 = 0,3 м, ее скорость V1= – 4 м/c и ускорение A1= – 30 м/с2. Определите амплитуду и частоту колебаний частицы.

Решение.  Уравнение движения частицы x = A×cos(wt + j0). В некоторый момент времени t1 cмещение  частицы от положения равновесия x1 = A×cos(wt1 + j0), ее скорость V1 = – Aw×sin(wt1 + j0),  а ускорение A1 = – Aw2cos(wt1 + j0).  Поскольку при гармонических колебаниях A1 = – w2x1,  имеем w = . Суммируя функции cos2(wt1 + j0) + sin2(wt1 + j0)  = (x1/А)2 + (V1/Аw)2 = (1/А)2(x12 - x1×V12/A1) = 1, получаем А = x1.

 Ответ: А = x1 = 0,5 м; w = = 10 c-1.

Монета лежит на горизонтальной подставке, движущейся по вертикальной оси по закону: y = A×sinwt, где w = 10 с-1. При каких амплитудах колебаний подставки движение монеты будет гармоническим? На какой максимальной высоте H относительно среднего положения подставки окажется монета в течение первого периода колебаний, если А = 0,2 м. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Решение По второму закону динамики для монеты N - mg = ma, где N – сила, действующая на монету со стороны подставки вверх (по оси Y), а – ускорение монеты. Движение монеты будет гармоническим до тех пор, пока она не начнет «отрываться» от подставки. При гармоническом движении монеты ее ускорение a =  = –Aw2sinwt. Моменту начала отрыва монеты от подставки при постепенном увеличении амплитуды соответствует условие N = 0. При этом «пограничном» условии g = Aw2sinwt. Таким образом, при А = g/w2 движение монеты еще происходит по гармоническому закону (монета «теряет контакт» с подставкой пока только в верхних точках траектории); при А > g/w2 движение монеты уже не будет гармоническим. В частности, при заданных условиях задачи движение монеты будет гармоническим при А £ 0,1 м. При бόльших амплитудах монета начнет «подскакивать» над подставкой.

Амплитуда колебаний грузика на пружинке возросла в два раза. Во сколько раз увеличились энергия колебаний и площадь его фазовой траектории . 

Два тела массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг находятся на гладкой горизонтальной поверхности и связаны пружиной (k = 1,5×102 Н/м), длина которой L = 12 см. Пружину сжимают на величину DL = 6 см и без толчка отпускают. Какова частота возникших колебаний? Определите амплитуды колебаний каждого тела.

Грузик массой m подвешен на нерастяжимой нити, верхний конец которой перемещают по вертикали по закону: y = A×sinwt. Величина А постепенно растет. При каких минимальных А колебания грузика станут негармоническими? В каких точках начнется отклонение от гармонического закона колебаний грузика?

Найти частоту малых свободных колебаний w0 физического маятника – тела произвольной формы, закрепленного на горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести. Момент инерции тела относительно этой оси равен J, его масса m, а расстояние от оси до центра тяжести тела равно b.

Решение При отклонении тела от положения устойчивого равновесия (ось вращения и центр тяжести находятся на одной вертикали) появляется момент силы тяжести, действующей на тело, направленный против вектора его углового смещения a. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси будет иметь вид: .

Знак минус здесь обусловлен тем, что направления векторов момента силы тяжести и углового смещения при любом положении тела противоположны. Как мы видим, данное дифференциальное уравнение не является линейным. Однако при малых углах (a << 1) sina » a) и уравнение приобретает знакомую форму (2.1):

В устройстве, показанном на рисунке, блок представляет собой сплошной однородный цилиндр массой М = 8 кг, который может вращаться вокруг оси без трения. Масса груза т = 6 кг. Жесткость пружины k = 1000 H/м. Считая, что проскальзывание нити по блоку отсутствует, а сама нить невесома и нерастяжима, найти частоту малых колебаний груза w0.

Решение Выберем систему отсчета, в которой одна координатная ось направлена вертикально вниз (ОХ), а другая (OZ) – перпендикулярно плоскости рисунка от нас (см. рис.). Пусть начало отсчета на оси ОХ соответствует положению груза при недеформированной пружине. В этом случае координата x груза будет одновременно равна деформации пружины и уравнение движения груза в проекции на ось ОХ можно записать в виде:

Задачи для самостоятельного решения. Рассмотрим ситуацию, моделирующую процесс столкновение атома и молекулы. Первоначально система, описанная в задаче 2.3, неподвижна и пружинка не деформирована. Второму шарику сообщается импульс p0 = m2V0 в сторону первого (удар налетающего атома). Определите скорость Vc центра масс системы, и частоту w0 возникающих колебаний.

В условиях задачи определите а) амплитуду A изменения деформации пружины, б) энергию поступательного Eпост и колебательного Eкол движения системы.

Потенциальная энергия частицы массы т в одномерном силовом поле зависит от ее координаты х по закону U(x) = U0(1 – cos ax), U0 и а – постоянные. Найдите частоту малых колебаний этой частицы около положения равно­весия.

Груз массой m = 0,2 кг, подвешенный на пружине жесткостью k = 20 Н/м, лежит на подставке так, что пружина не деформирована. Подставку убирают, и груз начинает двигаться. Найдите закон движения груза и его максимальную скорость.

Доску положили на два быстро вращающихся навстречу друг другу (в противоположных направлениях) цилиндрических ролика. Расстояние между осями роликов l = 80 см, коэффициент трения скольжения между стержнем и роликами m = 0,16. Покажите, что стержень будет совершать гармонические колебания и найдите их частоту w0.

В кабине самолета подвешен маятник. Когда самолет летит без ускорения, маятник качается с частотой w0. Какова будет частота колебаний маятника, если самолет взлетает с ускорением а, направленным под углом a к горизонту? Отдельно рассмотрите случай, когда а = g и a = 0.

* Кольцо массы М = 0,3 кг может скользить без трения по горизонтальному стержню в установке, изображенной на рисунке. Кольцо соединено двумя одинаковыми  пружинками жесткостью k = 15 Н/м , с точками А и В установки. Установка вращается с постоянной угловой скоростью W = 6 рад×с вокруг вертикальной оси, проходя­щей через середину стержня. а) Найдите частоту малых колеба­ний кольца. б) При какой угловой скорости W колебания не возникнут?

Затухающие колебания.

 У реального осциллятора всегда есть потери колебательной энергии. Поэтому свободные колебания будут затухающими (не гармоническими). В частности, учет сил вязкого трения (Fc = r×) для механического осциллятора или сопротивления электрических контуров (U = RI = R) приводит к дифференциальному уравнению типа: , (4.1)

где b – новая константа называемая коэффициентом затухания, w0 – собственная частота осциллятора в отсутствии затухания. Вид решения этого уравнения как раз и зависит от соотношения констант w0 и b, а их значения определяются параметрами конкретной колебательной системы.

1) Для случая b < w0 (малое затухание) его решением является функция:

Амплитуда и начальная фаза колебаний как обычно определяются начальными условиями.

Задача В условиях предыдущей задачи определить параметры затухающих колебаний в системе: а) время релаксации амплитуды (tA); б) количество колебаний, за которое амплитуда уменьшится в e раз (Ne); в) логарифмический декремент затухания g ;

г) добротность Q .

Решение a) Время релаксации амплитуды tA:

tA = 1/b = 10 c.

б)   , 0,6 с,  » 16.

в) Логарифмический декремент затухания:

Задача Сколько колебаний совершит груз в устройстве, рассмотренном в задачах 4.1 и 4.2, пока амплитуда уменьшится в n = 23 раза.

Решение Запишем отношение амплитуд в начале колебаний и в момент времени tn, когда амплитуда уменьшится в n раз: .

Отсюда .

Число колебаний до этого момента .

.

Таким образом оказалось, что добротность равна числу колебаний осциллятора, за которое амплитуда уменьшается в 23 раза.

Задача При какой величине коэффициента вязкости r в устройстве, рассмотренном в задачах 4.1-4.3, реализуется критический режим. Определить зависимость смещения от времени в критическом режиме, если в начальный момент времени телу в положении равновесия сообщают скорость V0 = 1 м/с.

Решение Критический режим колебаний реализуется при b = w0 = 10 с-1. Для рассматриваемой колебательной системы:

  200 кг/с.

 Общее решение для критического режима может быть записано в виде:

.

Начальные условия:

В представленных выше задачах (4.1 – 4.6) затухание колебаний обусловлено наличием вязкого трения. Колебания в системе с “сухим трением” рассмотрим на примере следующей задачи.

Задача

На горизонтальном столе лежит брусок массы m = 0,5 кг, прикрепленный горизонтальной пружиной к стене. Коэффициент трения скольжения бруска о поверхность стола равен m = 0,1. Брусок сместили по оси Х так, что пружина рас­тянулась на x0 = 6,3 см, и затем отпустили. Жесткость пружинки k = 100 Н/м, а ее масса пренебрежимо мала.

а) Найти число колебаний, которое совершит брусок до остановки.

б) Построить график зависимости от времени смещения бруска от начального положения х(t);

Движение бруска от положения с координатой х(1) вправо. ()

В уравнении движения изменится лишь знак слагаемого m×mg в правой части

 -kx – m×mg.

После аналогичных переобозначений приходим к решению для второго этапа движения ( обозначим его x(2)):

.

Отметим, что отсчет времени в этой записи решения следует начинать от начала данного этапа движения. A1 = x1 + x0 = - 4,8 см. Частота колебаний, конечно, прежняя.

К концу второго этапа движения координата тела окажется равной:

  4,3 см.

* После подключения к электрической схеме измерительного прибора три последовательных крайних положения его качающейся стрелки оказались против делений 30, 20 и 24. Считая декремент затухания по­стоянным, определите по этим данным положение равновесия стрелки.

Музыкальный камер­тон имеет собственную частоту колебаний n = 1000 Гц. Через какое время громкость его звучания уменьшится в п = 106 раз, если логарифмический декремент затухания равен g = 0,0006?

Последовательный резонансный колебательный контур состоит из конденсатора емкости С, катушки индуктивности L, сопротивления, равного критическому для данного конту­ра и ключа. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до на­пряжения U0 после чего ключ замкнули. Найдите ток I в контуре как функцию времени t. Чему равна при этом максимальная сила тока в контуре Imax?

Найдите закон изменения заряда на конденсаторе для контура, показанного на рисунке. Параметры контура С, L и R считать известными. Определите, при каком значении активного сопротивления R затухающие колеба­ния переходят в релаксацию.

Весьма наглядными амплитудные и фазовые соотношения между колебаниями, делает векторная форма представления колебаний. В частности, она позволяет качественно и количественно описывать вынужденные колебания. Каждой гармонической функции можно сопоставить вектор на плоскости, длина которого равна амплитуде колебания, а полярный угол – его фазе. Для гармонических колебаний этот вектор вращается относительно начала координат (точки О) против часовой стрелки с угловой скоростью w, равной частоте колебаний. Проекция вектора на ось Х и дает значение гармонической функции.

Для определения амплитуды вынужденных колебаний А и фазового сдвига a достаточно провести сложение векторов

 

Свободные колебания железного стержня, подвешенного на пружине, происходят с частотой wс = 20 рад×с-1, причем амплитуда колебаний уменьшается в h = 5 раз в течение вре­мени tη = ln5 » 1,61 с. Вблизи нижнего конца стержня помещена катушка, питаемая переменным током (см. рисунок). Считая, что амплитуда вынуждающей силы неизменна, найти:

а) коэффициент затухания b,

б) число колебаний Ne, за которые амплитуда уменьшается в е раз и добротность Q, в) при какой частоте тока через катушку wрт колебания стержня достигнут наибольшей амплитуды?

Решение

На вопросы (а) – (б) легко ответить, исходя из сведений о затухающих колебаниях:

В условиях рассматриваемой задачи мм.

Приведем также точный вид амплитудной резонансной кривой для рассмотренного случая вынужденных колебаний. Горизонтальным пунктиром указан уровень амплитуды вынужденных колебаний в  раз меньший резонансного (что соответствует уменьшению колебательной энергии в 2 раза). Он определяет “ширину резонансной кривой” Dw. Нетрудно показать, что Dw = 2b и понятие добротности получает новую трактовку:

.  (5.10)

Для колебательной системы, описанной в предыдущей задаче, построить зависимости от частоты амплитуды вынужденных колебаний, амплитуд поглощения Ап и дисперсии Ад.

Доказать, что при вынужденных колебаниях экстремумы амплитуды дисперсии наблюдаются при частотах вынуждающего воздействия ω @ ωр ± β.

Частота свободных колебаний некоторой си­стемы wс = 50,0 рад×с-1, резонансная частота wр = 49,9 рад×с-1. Определить добротность Q этой системы.

Найти резонансную частоту wр для некоторого механического осциллятора, если амплитуды смещений при вынужденных колебаниях этого осциллятора одинаковы при частотах w1 = 20 рад×с-1 и w2 = 40 рад×с-1.

Определить частоту w*р, соответствующую резонансу скорости некоторого механического осциллятора (когда амплитуда скорости колеблющегося тела максимальна), если амплитуды скорости при частотах вынуждающей силы w1 = 10 рад×с-1 и w2 = 40 рад×с-1 одинаковы.

При некоторой скорости движения поезда его вагоны особенно сильно раскачиваются на рессорах в результате периодических толчков колес о стыки рельс. Когда поезд стоит на станции, рессоры деформированы под нагрузкой вагонов на Dх = 10 см. Длина рельс l = 12,5 м. Определить по этим данным скорость движения поезда.

На крутильный маятник, описанный в задаче 2.10, действует внешняя сила, момент которой меняется по закону N(t) = Nm×coswt. Определить работу сил трения, действующих в системе, за время, равное периоду колебаний. Установившиеся вынужденные колебания маятника происходят по закону: j = jm cos (wt - a).

Грузик массы m = 100 г подвешен на невесомой пружинке с жесткостью k = 32,4 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы грузик совершает установившиеся колебания с частотой w = 17 рад×с-1. При этом колебания шарика отстают по фазе от вынуждаю­щей силы на a = p/4. Определить добротность данного осциллятора.

Переменный ток.

Рассмотрим вынужденные колебания в электрических цепях, содержащих элементы R, L, C – переменный ток. Такие колебания возникают при подключении цепи к источнику ЭДС, периодически изменяющейся во времени. Будем считать, что выполняется условие квазистационарности: значения силы тока во всех последовательно соединенных участках цепи в один и тот же момент времени одинаковы. Это возможно, если время распространения электромагнитного сигнала вдоль цепи много меньше периода колебаний ЭДС источника:

 (6.1)

Пусть ЭДС изменяется по гармоническому закону – U(t) = U0×cos wt (см. рис.6.1). Сила тока в общем случае не совпадает по фазе с приложенным напряжением: I(t) = I0×cos(wt + j). (Так же как в механических колебательных системах смещение и скорость осциллятора не совпадают по фазе с вынуждающим воздействием). Поэтому теряет смысл запись соотношения между мгновенными значениями силы тока и напряжения (аналогичная закону Ома для постоянного тока) – это соотношение меняется во времени. Интерес представляет только связь между их амплитудными (или «действующими») значениями неизменная во времени при установившихся колебаниях в цепи. Такое отношение

Задача

На зажимы цепи переменного тока подано напряжение с амплитудным значением U0 = 308 В, гармонически изменяющееся с частотой n = 50 Гц. В цепь включены последовательно соединенные резистор R = 80 Ом, катушка с индуктивностью L = 0,56 Гн и конденсатор с ёмкостью  С = 30 мкФ. 

Найти: а) амплитудное значение силы тока в цепи, б) сдвиг по фазе между током и напряжением.

Решение

Построение векторной диаграммы удобно начать с вектора, соответствующего силе тока. Для последовательного контура в условиях квазистационарности этот вектор является общим для всех элементов цепи. Направим его по горизонтали вправо. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с силой тока, протекающего по нему, поэтому и вектор напряжения на резисторе направим так же. Длина этого вектора равна произведению амплитудного значения силы тока в цепи на сопротивление резистора:

 

 

 

Рассмотрим далее вопрос о мощности в цепи переменного тока и о понятиях действующих значений тока и напряжения.

Мгновенная мощность для случая, когда гармоническое напряжение U0cos(wt) приложено к цепи с омической нагрузкой по закону Джоуля–Ленца может быть записана в виде:

P (t) = U0cos(wt)×I0cos(wt – j) . (6.11)

Простейшие тригонометрические преобразования позволяют показать, что это быстропеременная функция с частотой 2w. В то же время тепловое действие тока определяется, очевидно, не мгновенным, а средним (за большой по сравнению с периодом колебаний промежуток времени) значением мощности áPñ. Это значение может быть найдено усреднением P(t) за период:

. (6.12)

Величину cosj называют «коэффициентом мощности». Поскольку U0×cosj = UR = I0R, то

  (6.13)

Задача

Найти действующее значение тока, если максимальное значение его равно I0, а сам ток зависит от времени по закону, показанному на рисунке.

Решение

В рассматриваемом случае I(t) = k×t в пределах одного периода колебаний, где k =  (см. рис.). Тогда:

.

Таким образом  . Точно так же получаем .

Рассмотрим ещё одну задачу, в которой вскрывается суть важных для рассмотрения цепей переменного тока понятий омического, активного и полного сопротивлений цепи переменного тока.


Цепь переменного тока состоит из последовательно включенных сопротивления R = 80 Ом, индуктивности L = 0,56 Гн и емкости С = 30 мкФ. Цепь включена в бытовую электросеть (напряжение U = 220 В, f = 50 Гц). Найти: а) действующее значение силы тока в цепи, б) сдвиг по фазе между током и напряжением.

В условиях предыдущей задачи найти действующие значения напряжений, UR , UL и Uc на зажимах каждого из элементов цепи и выделяющуюся в цепи мощность Р.

В цепи переменного тока используется плоский конденсатор, изолятор которого промок и он стал нагреваться. При частоте f = 50 Гц коэффициент мощности оказался равен 0,6. Определить по этим данным удельное сопротивление изолятора, если его диэлектрическая проницаемость равна e = 4,8.

* К бытовой электросети (на­пряжение U = 220 В, f = 50 Гц) присоединен дроссель, соединенный последовательно с сопротивлением R = 40 Oм. Напряжение, измеренное вольтметром на дросселе равно U1 = 160 В, а на сопротивлении U2 = 80 В. Какие мощности потребляются дрос­селем (Р1) и сопротивлением (Р2)

Переменное напряжение, действующее значение которого U = 10 В, а частота f = 50 Гц, подано на катушку без сердечника с индуктивностью L = 2 мГн и сопротив­лением R = 100 мОм. Найти количество теплоты, выделяющееся в ка­тушке за секунду.

К сети переменного тока с действующим напряжением U = 120 В подключили катушку, индуктивное сопротивление которой ХL = 80 Ом и полное сопротивление Z = 100 Ом. Найти разность фаз меж­ду током и напряжением, а также мощность, потребляемую катушкой.

При какой частоте напряжения, подаваемого на цепочку последовательно соединенных элементов R = 50 Ом, L = 1 мГн, С = 1 мкФ, ток отстает от напряжения по фазе на p/4?

В электрической схеме между точками, находящимися под напряжением U = U0×cosωt , включен конденсатор ёмкости С. Пространство между об­кладками конденсатора заполнено слабо проводящей средой с сопротивлением R. Как зависит от времени сила тока, протекающего через данный участок цепи?

К участку цепи, состоящему из последовательно соединенных элементов R, L и C, приложено переменное напряжение с действующим значением U = 220 В и частотой v = 50 Гц. Сопротивление цепи R = 110 Ом, ёмкость  конденсатора равна 50 мкФ. Индуктивность L подбирается так, чтобы показание вольтметра, включенного параллельно конденсатору, стало максимальным. Чему равна эта индуктивность? Найти показания вольтметра и амперметра в этих условиях.

Параметры последовательного колебательного контура (R, L, C) таковы: С = 5 нФ, R = 0,1 Ом. Какую мощность Р надо подводить к контуру, чтобы поддержи­вать в нем незатухающие колебания на частоте w = 200 рад/c с амплитудой напря­жения на конденсаторе UC0 = 10 В?

Найти условие «баланса токов» для цепочки, состоящей из параллельно соединенных идеальных емкости и индуктивности – минимума силы тока в подводящих проводах.

Волны

Волны – это распространяющиеся в пространстве изменения состояния среды, сопровождающиеся переносом энергии. В частности, механические (упругие) волны в каком-либо веществе представляют собой распространяющиеся в этом веществе механические напряжения, электромагнитные – распространяющееся электромагнитное поле. Упругие волны могут возникать в твердых, жидких и газообразных средах; электромагнитные – могут распространяться также и в вакууме.

Совокупность точек, колеблющихся в одной и той же фазе, составляет волновую поверхность. Волновых поверхностей бесконечно много, «самая передняя» из них называется фронтом волны. Волна, описывающаяся соотношением (7.2), потому и называется плоской, что все ее волновые поверхности – плоскости.

  Если размерами источника волн можно пренебречь (точечный источник), то волновые поверхности являются сферическими и уравнение волны принимает вид (см. задачу 7.1): 

x(r,t) = ×cos(wt – kr). (7.3)

Здесь r – радиус вектор, соединяющий источник с данной точкой пространства; k = (2p/l)(V/V) – т.н. «волновой вектор».

Основные энергетические характеристики переноса энергии волнами (как упругими, так и электромагнитными) таковы:

a) Плотность потока энергии (количество энергии, переносимое волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны):

S(t) = W0(t)×V.  (7.9)

б) Интенсивность волны (среднее по времени значение плотности потока энергии):

I = <S(t)> = <W0(t)>×V. (7.10)

При усреднении по времени плотности энергии волны учтем, что среднее по времени значение квадрата гармонической функции равно 1/2, поэтому, например, для электромагнитной волны – см. (7.8):

Задача

Доказать, что амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника волн r (см. соотношение (7.3)).

Решение.

Чем дальше от источника уходит сферическая волна, тем на большую площадь распределяется испускаемая источником энергия (S = 4pr2). Соответственно, тем меньшая энергия (~ 1/r2) приходится на каждую колеблющуюся частицу. Из формул (7.4) и (7.8) следует, что плотность энергии волны W0(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний (А2 для упругой, Е2 или В2 для электромагнитной волн). Следовательно, амплитуда колебаний в сферической волне обратно пропорциональна расстоянию от источника до данной точки А ~  ~ 1/r (см. ф-лу (7.3)).

Задача

Используя определенные аналогии между параметрами упругих и электромагнитных волн, укажите относительное расположение максимумов электрического и магнитного поля в бегущих и стоячих электромагнитных волнах.

Решение

Как следует из сопоставления характеристик механических и электромагнитных колебаний (см. п.3), потенциальной энергии упругой волны U0 соответствует энергия электрического поля электромагнитной волны W0Е, а кинетической энергии T0 – энергия магнитного поля W0В. Соответственно, в бегущей электромагнитной волне максимумы энергии электрического и магнитного полей совпадают (так же, как максимумы потенциальной и кинетической энергии в бегущей упругой волне); в стоячей электромагнитной волне максимумы W0Е и W0В должны быть пространственно разнесены на l/4 (как и максимумы U0 и T0 в стоячей упругой волне).

В воде распространяется плоская гармоническая волна, амплитуда которой A = 0,1 мм, а частота w = 104 с-1. Определите скорость молекул воды в точках В и С (на оси и в максимуме – см. рис.7.3.).

Изобразите зависимости от координаты потенциальной и кинетической энергий упругой волны в момент времени, зафиксированный на рис.7.3.

В железном стержне длиной L = 0,5 м с закрепленными концами возбуждена стоячая упругая волна частотой w = 2p ×104 с-1. Изобразить распределение вдоль стержня смещений частиц, потенциальной и кинетической энергии волны, если скорость такой же бегущей по стержню волны V = 5×103 м/с.

В воздухе по оси Х распространяется звуковая волна, зависимость смещений молекул от координаты в некоторый момент времени показана на рис.7.3. Изобразить зависимость давления в воздухе от координаты в этот момент.

Определить скорость продольной упругой волны в железе, если известно, что модуль упругости для железа G = 2,1×1011 Н/м2, а его плотность r = 7,8×103 кг/м3.

Интерференция света – пространственное перераспределение энергии светового потока при наложении двух или нескольких световых волн с образованием максимумов и минимумов интенсивности в различных точках пространства. Это явление может происходить, если световые волны имеют постоянную, не зависящую от времени, разность фаз. Такие волны называются когерентными. Результатом сложения когерентных волн является образование устойчивой во времени и пространстве интерференционной картины. Необходимым условием интерференции волн является также неортогональность плоскостей колебаний векторов Е (и, соответственно, В) интерферирующих волн.

 Если представить гармоническое колебание Е1 = Е01 cos(wt + j1) в полярных координатах, то оно будет изображаться вектором Е01, вращающимся относительно начала координат (точки О) с угловой скоростью w против часовой стрелки (см. п.5). Проекция вектора Е01 на ось Х представляет собой гармоническое колебание Е1 вдоль этой оси. Положение вектора Е01 на рис.8.1 соответствует моменту времени t = 0.

Теперь рассмотрим связь между разностью фаз Dj колебаний, приходящих в точку наблюдения О от двух точечных монохроматических источников (l1 = l2 = l)  и разностью хода Dr = r2 – r1 распространяющихся от этих источников волн (см. рис.8.2). 

Из уравнения волны E = E0 cos(wt - kr) следует, что

  Dj = kDr , (8.3)

где k = 2p/l - волновое число. 

Таким образом, условие максимумов (max) интерференции:

Dr = ml, (8.4,а)

а условие минимумов (min):

 Dr = (2m + 1) l/2,  (8.4,б)

где m = 0, 1, 2, …. называется порядком интерференции.

Расчет интерференционной картины в схеме Юнга.

 В схеме Юнга для получения для получения когерентных волн используется метод деления одной и той же исходной волны на две, затем эти две волны проходят разный путь и вновь собираются вместе (см. рис.8.3). В качестве первичного источника излучения используется точечный монохроматический источник S.

 В опыте Юнга между источником S и экраном Э, на котором наблюдается интерференция, располагается преграда с двумя маленькими отверстиями (или узкими щелями), которые выполняют роль двух вторичных когерентных источников.

Наблюдение интерференции с помощью билинзы.

В этом случае вторичные когерентные источники света получаются в результате создания двух (действительных или мнимых) изображений точечного источника  S в билинзе. Билинза представляет собой разрезанную по диаметру тонкую линзу, обе половины которой раздвинуты на расстояние Z. Полученная таким образом оптическая система создает два изображения источника света S, волновые поля которых когерентны и могут создавать интерференционную картину.

Наблюдение интерференции с помощью бипризмы.

Бипризма представляет собой две тонкие призмы с общим основанием. Если угол призмы j мал, то угол преломления такой призмы q при нормальном падении луча света равен q = j×(n - 1), где n - показатель преломления призмы. Можно показать, что при малых  углах падения света на плоскую грань призмы угол преломления будет определяться тем же выражением. Если поместить точечный источник света S или источник в виде святящейся щели на некотором расстоянии от бипризмы, то возникнут два мнимых изображения этого источника S1 и S2 на расстоянии b от бипризмы (см. рис.8.6). Расстояние между S1 и S2 определяется выражением:

 

 

Полосы равного наклона.

  Если толщина пленки d постоянна а на плёнку падает непараллельный пучок света, то разность хода интерферирующих лучей определяется углом преломления b, и, следовательно, углом падения луча на пленку a. В этом случае интерференционная картина представляет собой так называемые «полосы равного наклона». При постоянной толщине пленки интерферирующие лучи параллельны и говорят, что интерференционная картина локализована на «бесконечности» или в фокальной плоскости собирающей линзы.

Условия наблюдения интерференции.

  Ранее мы рассматривали идеализированную картину интерференции строго монохроматических световых волн, распространяющихся от точечных источников. Обсудим теперь, что изменится, если учесть немонохроматичность и конечные размеры большинства реальных источников света.

а) Роль немонохроматичности источника.

Если источник S в схеме Юнга (см.рис.8.3) испускает немонохроматические волны в интервале от l до l + Dl, то интерференционная картина получится “размытой”  из-за того, что положения максимумов и минимумов для разных l будут отличаться. Критерием потери различимости  интерференционной картины для “m”– го порядка интерференции будет совпадение максимума (m + 1)–го порядка для света с длиной волны l с максимумом m–го порядка для света с длиной волны (l + Dl):

Задачи для самостоятельного решения.

Чему равна амплитуда А колебания, являющегося суперпозицией N некогерентных колебаний одинакового направления и одинаковой амплитуды а?

Две световые волны создают в некоторой точке пространства колебания напряженности электрического поля, описываемые функциями Е1у = A×coswt и Е2у = A×cos[(wt + Dw)t], где Dw = 0,628 рад×с–1. Как ведет себя интенсивность света в этой точке?

Найти интенсивность I волны, образованной наложением двух волн одинаковой частоты, поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях. Значения интенсивности этих волн I1 и I2

Две плоские когерентные световые волны, угол между волновыми векторами которых a << 1, падают почти нормально на экран. Амплитуды волн одинаковы. Записать уравнения обеих волн и, показать, что расстояние между соседними максимумами на экране Δх = l /a, где l - длина волны.

Определить сдвиг Dх интерференционных максимумов 2-го порядка (m = 2) в опыте Юнга после заполнения водой пространства между экраном, на котором наблюдается интерференционная картина, и преградой со щелями. Расстояние между экраном и преградой L = 1 м, расстояние между щелями d = 1 мм, длина волны света l = 0,5 мкм, показатель преломления воды n = 4/3.

Плоская световая волна (l = 0,45 мкм) падает по нормали на преграду с двумя узкими параллельными щелями. На экране, установленном за преградой, наблюдается интерференционная картина. На какую величину Δl следует изменить длину волны падающего света, чтобы после заполнения пространства между преградой и экраном водой с n = 4/3 положение интерференционных полос не изменилось?

Плосковыпуклая стеклянная линза, соприкасающаяся выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой, освещается монохроматическим светом. Наблюдение ведется в отраженном свете. Радиусы двух соседних темных колец равны соответственно r1 = 4,0 мм и r2 = 4,4 мм. Радиус кривизны линзы R = 6,4 м. Найти порядковые номера колец и длину волны падающего света.

Плосковыпуклая стеклянная линза, соприкасающаяся выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой, освещается монохроматическим светом. Найти расстояние между 3-м и 16-м темными кольцами Ньютона, если расстояние между 2-м и 20-м темными кольцами равно 4,8 мм. Наблюдение ведется в отраженном свете.

Дифракция света.

Явление дифракции заключается в том, что при прохождении света через малые отверстия или около краев непрозрачных преград световые волны проникают в область геометрической тени. При этом на экране, поставленном за препятствием, наблюдается чередование максимумов и минимумов освещенности, как и при интерференции когерентных световых пучков. Это позволяет сделать вывод о том, что природа явлений дифракции и интерференции одна и та же.

Для описания волновых процессов Х. Гюйгенс сформулировал принцип, согласно которому каждую точку пространства, до которой дошло возмущение световой волны, можно рассматривать как ²вторичный² точечный источник сферической элементарной волны. Гюйгенс считал, что волновая поверхность результирующей волны является просто огибающей всей совокупности сферических волн от ²вторичных² источников. В таком виде принцип Гюйгенса не позволяет количественно рассчитывать дифракционные картины в различных случаях, так как в нем отсутствует учет фаз складывающихся ²вторичных² элементарных волн. Френель дополнил принцип Гюйгенса тем, что ввел представления о когерентности и об интерференции вторичных волн. Усовершенствованный таким образом принцип Гюйгенса называют принципом Гюйгенса-Френеля. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля при распространении световой волны вблизи какого-либо препятствия усиление интенсивности света будет наблюдаться в тех точках пространства, куда когерентные элементарные волны от всех вторичных источников приходят с разностью фаз, кратной 2p. Наоборот, в тех местах, куда элементарные волны приходят в противофазе и гасят друг друга, будет наблюдаться ослабление интенсивности результирующей волны.

Нетрудно показать, что площади всех зон Френеля при дифракции на круглом отверстии одинаковы (задача 9.1).

  Построение векторных диаграмм при дифракции Френеля

Как отмечалось ранее (см. разделы 5, 6, 8), векторная диаграмма есть представление гармонических колебаний в полярных координатах. Соответствующее колебание изображается в виде вектора, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью w. Угол поворота этого вектора определяет фазу колебания. Разобьем первую зону Френеля на узкие кольцевые полоски одинаковой площади (центральный участок представляет собой круг). Если вектор амплитуды колебания, приходящего в точку О (см. рис.9.1) из центрального участка  первой зоны Френеля построить с нулевой фазой, то, по мере удаления от центра зоны, будет происходить запаздывание колебаний по фазе (за счет увеличения расстояния до точки наблюдения), и соответствующий вектор амплитуды будет поворачиваться по часовой стрелке. В результате, для первой зоны Френеля получится система векторов, изображенная на рис.9.2,а, при этом разность фаз колебаний, приходящих в точку O от начала и края первой зоны, будет равна p. Векторные диаграммы колебаний, приходящих в точку O от второй и последующих зон Френеля, строятся аналогично, только нужно учесть, что при постепенном увеличении расстояния от вторичных источников до точки наблюдения O амплитуды соответствующих векторов постепенно уменьшаются.

Задачи для самостоятельного решения.

Получить выражение для радиуса n – ой зоны Френеля rn при падении на круглое отверстие плоской волны длиной l. Расстояние от отверстия до экрана равно l. Доказать, что площади всех зон Френеля одинаковы.

Определить радиус отверстия, при дифракции на котором плоской волны интенсивность в центре дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии l = 1 м от отверстия, будет в 2 раза больше,  чем в отсутствии отверстия. Длина волны света l = 0,5 мкм.

Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии b от точечного источника монохроматического света (l = 0,6 мкм). На расстоянии 0,5b от источника помещена круглая непрозрачная преграда диаметром d = 1 см. Определить расстояние b, если преграда закрывает только первую зону Френеля. Что будет наблюдаться в центре экрана?

Плоская монохроматическая волна падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием. Интенсивность волны I0. Какова интенсивность света I за экраном в точке, для которой радиус отверстия: а) равен радиусу первой зоны Френеля; б) внутренней половине первой зоны; в) половине первой зоны Френеля (по диаметру).

Нарисовать векторную диаграмму для случая, когда внешнюю половину первой зоны Френеля перекрывают тонкой прозрачной пластинкой толщиной b и показателем преломления n = 1,5. При какой минимальной толщине пластинки интенсивность в центре дифракционной картины не изменится? Длина волны света l = 0,5 мкм.

Дифракция Фраунгофера

 а) Дифракция на щели

Дифракцию Фраунгофера условно называют «дифракцией в параллельных лучах». Это означает, что источник света и экран, на котором наблюдается интерференционная картина, расположены очень далеко от преграды (более строгое определение дифракции Фраунгофера будет дано в конце этого раздела). Обычно при наблюдении дифракции Фраунгофера дифракционную картину фокусируют на экране , расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы (см. рис. 10.1).

Пусть на протяженную щель шириной b, вырезанную в непрозрачном экране, падает по нормали плоская монохроматическая волна. В соответствие с принципом Гюйгенса-Френеля, фронт волны в плоскости щели можно разбить на зоны Френеля, представляющие собой в рассматриваемом случае узкие полоски, параллельные краям щели. Линза “выбирает” параллельные лучи, испускаемые зонами Френеля, и фокусирует их в точку В на экране Э. Таким образом, число зон Френеля k, открытых для точки В на экране, определяется из условия: bsinj = kl/2, т.е. зависит только от угла дифракции j  при постоянных b и l. При этом неявно учитывается такое свойство линзы,

Характерным параметром дифракционной картины от щели является угловое положение первого дифракционного минимума sinj1 = l/b. Этот параметр определяет тип дифракции, а также разрешающую способность оптических приборов.

В зависимости от соотношения трех параметров дифракционной картины: ширины щели) b, расстояния от щели до экрана l и длины волны света l может наблюдаться дифракция Френеля либо Фраунгофера. Подчеркнем, что использование линзы при наблюдении дифракции, а также вид препятствия (щель или круглое отверстие, например) совершенно не определяют тип дифракционной картины. Очевидно, что при достаточно широкой щели (или отверстии) дифракционными явлениями вообще можно пренебречь и пользоваться представлениями геометрической оптики. Рассмотрим все три ситуации по отдельности.

В заключение следует заметить, что неравенство (10.4) было получено как следствие рассмотрения дифракции Фраунгофера на щели. Расчет дифракции Фраунгофера на круглом отверстии показывает, что угловое положение первого минимума определяется в этом случае соотношением j1(к) @ 1,22l/b. Соответственно, для оптических приборов с круглыми объективами вместо (10.4) часто используют более точную формулу

D > 1,22l/bL. (10.4,а)

Учитывая, однако, приближенный характер соотношений (10.4) и (10.4,а), мы в дальнейшем будем использовать более простую оценку разрешающей способности оптических приборов с помощью неравенства (10.4).

Задачи для самостоятельного решения.

Как будет изменяться дифракционная картина в фокальной плоскости линзы при продольном и поперечном смещении щели относительно линзы?

На щель шириной b = 0,5 мм, установленную на расстоянии L = 2 м от экрана, падает по нормали плоская волна с l = 0,5 мкм. В отсутствие преграды волна создает на экране интенсивность I0. Определить: а) какой вид дифракции наблюдается в этом случае; б) интенсивность I центрального максимума? 

Определить ширину центрального дифракционного максимума Dх и тип дифракции при падении плоской волны длиной l = 0,5 мкм на щель шириной b = 1 мм на расстоянии l = 5 м от щели.

б) Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке.

Дифракционная решетка представляет собой систему N параллельных щелей, расположенных в одной плоскости на равном расстоянии друг от друга. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера на решетке представлена на рисунке 10.3.

Характеристики дифракционной решетки

как спектрального аппарата.

Угловая дисперсия.

Угловая дисперсия является размерной величиной и определяет угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися на единичный

Линейная дисперсия.

Линейная дисперсия характеризует величину линейного расстояния (на экране или фотопленке) между двумя спектральными линиями, отличающимися на единичный интервал длин волн. При малых углах дифракции расстояние между максимумами двух спектральных линий dx связано с угловым расстоянием между ними простым соотношением: dx » F × dj , где F – фокусное расстояние линзы. Тогда величина линейной дисперсии Dx = dx/dl » F× Dj.

Разрешающая способность.

Разрешающей способностью спектрального аппарата называется отношение длины волны l, на которой проводится измерение, к минимальной разрешаемой данным аппаратом разнице в длинах волн R = l/dlmin . Согласно критерию Рэлея, две спектральные линии l и l + dlmin будут разрешены, если максимум одной совпадает с минимумом другой. Тогда условие совпадения максимума l + dl и первого побочного минимума l в спектре  m – порядка запишется так:

d sinj = m(l + dl) = (m +1/N)l . Отсюда получаем: dlmin = l/mN , и, соответственно, разрешающая способность дифракционной решетки оказывается пропорциональной числу щелей N и порядку интерференции (порядковому номеру главного максимума): R = mN.

Поляризация света

Поляризация поперечных волн состоитв нарушении симметрии распределения возмущений относительно направления распространения волны. Для продольных волн такое нарушение симметрии невозможно, поэтому продольные волны не бывают поляризованными.

Явление поляризации света есть следствие его волновой природы и представляет собой прямое доказательство поперечности электромагнитных (и, в частности, световых) волн.

Простейший анализ состояния поляризации света состоит в пропускании его через совершенный поляроид - анализатор, главное направление которого постепенно поворачивают в плоскости, перпендикулярной лучу. Степень поляризации анализируемого света Р определяется выражением:

Задача Степень поляризации частично поляризованного света Р = 0,25. Найти отношение k интенсивности плоско-поляризованной составляющей этого света I1 к интенсивности естественной (неполяризованной) составляющей I*.

Решение I max = I1 + I*/2; Imin = I*/2, тогда

  . Отсюда k = I1/I* = P/(1-P).

Задача Двойное лучепреломление. Оптическая анизотропия кристаллов приводит к тому, что скорость распространения света, и, следовательно, показатель преломления, зависят от ориентации плоскости поляризации света, проходящего через кристалл. В результате этого электромагнитная волна при прохождении анизотропного одноосного кристалла разделяется на два луча ( наблюдается «двойное лучепреломление»). Один луч, плоскость колебаний вектора электрической напряженности E которого перпендикулярна главной оптической плоскости кристалла, называется обыкновенным. Скорость его не зависит от направления распространения в кристалле. Соответственно, показатель преломления для этого луча постоянен (n0). Другой луч, в котором плоскость колебаний вектора E параллельна главной оптической плоскости, называется необыкновенным. Его скорость и показатель преломления зависят от направления распространения в кристалле. Если этот луч распространяется вдоль оптической оси кристалла, он становится обыкновенным и его показатель преломления равен n0; если перпендикулярно оптической оси, то его показатель преломления nе наиболее сильно отличается от n0. Кристалл называется положительным, если nе > n0 и отрицательным, если nе < n0.

На рис.11.1 показана ориентация векторов Е в обыкновенном (Ео) и необыкновенном (Ее) лучах при нормальном падении плоскополяризованного света на двоякопреломляющий кристалл, оптическая ось которого ОО¢ параллельна его поверхности.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

Монохроматический поляризованный по левому кругу свет с интенсивностью I0 падает нормально на положительную кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси. За пластинкой находится анализатор, направление пропускания которого составляет угол a с осью пластинки. Определить интенсивность света, прошедшего через эту систему.

Решение Поляризованный по кругу свет создает одинаковые амплитуды обыкновенного луча Ео и необыкновенного Ее, причем для левой поляризации колебания обыкновенного луча отстают по фазе на p/2. Положительный кристалл создает для обыкновенного луча опережение по фазе d. Таким образом, результирующая разность фаз между составляющими обыкновенного и необыкновенного лучей dо = d - p/2. Окончательный результат получается из векторной диаграммы и теоремы косинусов.

Задачи для самостоятельного решения.

Определить интенсивность I1 плоскополяризованного света, вышедшего из идеального поляризатора, при падении на него естественного света с интенсивностью I* .

На совершенный поляризатор падает поляризованный по кругу свет, интенсивность которого равна I0. Какова будет интенсивность света за поляризатором?

Степень поляризации частично поляризованного света Р = 0,25. Найти отношение интенсивности плоскополяризованной составляющей этого света II к интенсивности естественной I*.

Определить степень поляризации Р света, представляющего собой смесь естественного света с плоскополяризованным, если отношение k интенсивности поляризованного света к интенсивности естественного равна: а) 1; б) 10?

Имеются два одинаковых несовершенных поляризатора, каждый из которых в отдельности обеспечивает степень поляризации Р1 = 0,8. Какова будет степень поляризации света, прошедшего последовательно через оба поляризатора, если плоскости поляризаторов: а) параллельны; б) перпендикулярны друг другу.

Естественный свет проходит через систему из двух одинаковых несовершенны поляризаторов. Каждый из них пропускает в своей плоскости a1 = 0,95 интенсивности соответствующего колебания и создает степень поляризации Р = 0,9. Какую часть начальной интенсивности света составляет интенсивность света, прошедшего через эту систему, если поляризаторы скрещены?

Каков должен быть преломляющий угол a у стеклянной призмы с показателем преломления n, чтобы углы входа и выхода луча из призмы были углами полной поляризации?

Кристаллическая пластинка в полволны установлена между двумя совершенными поляризаторами. На первый (по ходу луча) поляризатор падает естественный монохроматический свет интенсивности I* c длиной волны, соответствующей пластинке. Первый поляризатор закреплен в положении , в котором его ось вертикальна. Оптическая ось пластинки образует с вертикалью угол a = 600. Второй поляризатор может вращаться. Определить интенсивность I света, вышедшего из второго поляризатора для случаев, когда направления пропускания поляризаторов: а) параллельны; б) взаимно перпендикулярны.

На пути плоскополяризованного монохроматического света установлена кристаллическая пластинка в четверть волны. Какие видоизменения будет претерпевать характер поляризации вышедшего из пластинки света при вращении пластинки вокруг направления луча?

Как отличить правополяризованный свет от лево поляризованного?

На пути плоскополяризованного монохроматического света находится клиновидная кварцевая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси. Угол при вершине клина j = 3.42¢. Ось пластины образует угол 450 с направлением колебаний вектора E в падающем луче. Разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей Dn = 0,009. Найти расстояние Dх между серединами светлых полос, наблюдаемых за анализатором. Длина волны света l = 0,54 мкм.

Физика, начертательная геометрия - лекции и примеры решения задач