Геометрические построения Метод проекций Позиционные задачи Решение метрических задач


Решение метрических задач способом замены плоскостей проекций

Методы преобразования проекций. Вращение Позиционные и метрические задачи решаются проще, если геометрические фигуры занимают по отношению к плоскостям проекций частные положения (перпендикулярные или параллельные)

Вращение прямой общего положения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций до положения уровня и далее до проецирующего положения осуществляется

Последовательное вращение прямой общего положения вокруг двух осей, перпендикулярных плоскостям проекций до проецирующего положения можно осуществить сначала поворотом вокруг горизонтально-проецирующей оси до положения уровня

Вращение плоскости Для плоской фигуры важным является вращение ее до проецирующего положения и до положение уровня. Причем в проецирующее положение плоскость переводится одним вращением, в положение уровня - двойным вращением.

Определить наименее удаленную вершину многогранника от заданной плоскости. Данная постановка интерпретирует транспортную задачу нахождения оптимального плана расстановки судов на линии или то же самое задачу линейного программирования, в которой наилучшее решение определяется в ближайшей или наиболее удаленной вершине многогранника (области ограничений) минимизирующей функции (плоскости). Пусть плоскость задана следами (так чаще представляют плоскость в задачах линейного программирования).

Способ замены плоскостей проекции Суть метода состоит в задании новых изображений геометрических фигур удовлетворяющих определенным свойствам

Проецирование прямой линии в точку Пример. Задан отрезок прямой, занимающий положение горизонтали. Требуется подобрать направление проецирования и новую плоскость проекций на которую данный отрезок проецировался бы в точку.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость Данная задача может быть решена из определения: плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она проходит через перпендикуляр к этой плоскости. Таким образом, если в заданной плоскости взять какую-либо прямую и последовательно преобразовать ее точку, то и плоскость в которой она лежит должна стать проецирующей (проецироваться-вырождаться в прямую)

Опреление натуральную величину плоского треугольника АВС общего положения Плоскость треугольника АВС является плоскостью общего положения, поэтому требуется две замены 1) преобразование в проецирующее положение и вторая замена в положение уровня. Данные преобразования по отдельности были выполнены выше и объединяя их получим схему преобразования

Определить расстояние от т. М до плоскости АВС

На 8.8 построена линия пересечения прямой 30-гранной призмы с плоскостью общего положения

Часто возникают задачи двух видов:
1) требуется геометрическую фигуру расположить параллельно плоскости проекций и этим будет определена натуральная величина плоской части фигуры и
2)преобразовать объект так (часто в проецирующее вырожденное положение ребро, или грань) чтобы была возможность проще определить по изображению или расстояние или угол.

Таким образом при преобразовании возникает четыре важных задачи:
1) уметь преобразовать прямую в линию уровня (таким образом, найти ее натуральную величину),
2) преобразовать прямую в точку (что позволяет решать многие задачи намного проще)
3) преобразовать плоскость в проецирующее положение
4) преобразовать плоскость в положение уровня.
Если решаются эти четыре задачи, то остальные многие основываются на них. При этом возникает, что прямую общего положения можно преобразовать в проецирующее положение двумя заменами (использую принцип последовательной ортогональной замены), причем первая замена выполняет замену в прямую уровня, а вторая замена непосредственно в проецирующее положение.
Плоскость же общего положения можно первой заменой преобразовать в проецирующее положение, а второй заменой в положение уровня. Если прямая или плоскость занимает первоначально частное положение, то дальнейших замен достаточно одной.
Так например, чтобы преобразовать прямую уровня в проецирующее положение достаточно одной замены также как проецирующую плоскость в плоскость уровня. Все это рассмотрено было выше, поэтому перейдем к рассмотрению ряда примеров Внутреннее сопряжение окружности и прямой линии при помощи дуги окружности радиуса R1

 

Определить расстояние между параллельными прямыми.
Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра к этим прямым. На рис. задача решена двойной заменой плоскостей проекций прямые приведены в проецирующие положения. Искомое расстояние равно отрезку К'1N'1. Проекция K''1N''1 на плоскости V1 выбрана произвольно, но параллельно оси x2 из условия, что К'1N'1 - натуральная величина.
Напряженное состояние при растяжении (сжатии). Напряженное состояние при растяжении стержня является одноосным


Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и СD.

Искомое расстояние - отрезок перпендикуляра к обеим прямым. Если одна из прямых перпендикулярна плоскости проекций, то общий перпендикуляр будет расположен параллельно плоскости проекций и проецируется на нее в натуральную величину. Таким образом, необходимо выбрать новую плоскость проекций, перпендикулярную одной из прямых. Так как оба отрезка - прямые общего положения, то задача решается двойной заменой (см. задачу 3). K'1N'1 - искомый отрезок. К''1N''1 на плоскости V1 располагается параллельно Ox1 (из условия, что на Н1 он имеет натуральную величину). При построении надо обратить внимание, что преобразования ведем по одной прямой, но строим и вторую прямую (как получится) и только на плоскости Н1 строим к ней из вырожденной прямой АВ перпендикуляр, который может пересекаться с отрезком СD и на его продолжении.

Преобразование двух параллельных прямых (рис.8.7.1), а также одной из скрещивающихся прямых в проецирующее положение в системе (рис.8.7.2) СG-Вектор может быть выполнено по направлению вектора одной из прямой (см. макрокоманду 8.1). В первом случае такое направление определяется вектором р=р11-р12 =33.,5.,-6. и подставляя его значения в строку: "_Точ._зрения_( 33.0 5.0 -6.0" макрокоманды 8.3 пролучим проецирующие положения обеих прямых

Макрокоманда 8.3
$ mk8n3 - определение расстояния между двумя параллельными прямыми

: p11=40.,24.,5. p12=7.,19.,11. p13=34.,19.,18. p14=12.,3.,8.
otrezok: p1=p11 p2=p12 n=1 s1=0.5 s2=1.
otrezok: p1=p13 p2=p14 n=2 s1=0.5 s2=1.
har : n=3 s1=1. p1=p11
har : n=4 s1=1. p1=p12
har : n=5 s1=1. p1=p13
har : n=6 s1=1. p1=p14
monh
_Визуализация___
_Задание_Эск
_Стандартные_проекции_ Гориз
_Точ._зрения_( 33.0 5.0 -6.0
_Выход
_Визуализиpовать_ ВСЕ 00

а) б) в)
Рис.8.7.1. Задание а) ортогональный чертеж, б) аксонометрия и в) проецирующее положение двух параллельных прямых, полученных в системе "СG - Вектор"


На главную