Математическая логика Предел и непрерывность функции Непрерывность функции в точке Вычислить производную функции Вычислить интеграл Метод замены переменной


Конспект лекций по математике

Некоторые понятия и операции математической логики

Всякая теорема в математике состоит из разъяснительной части (описания тех объектов, о которых идет речь в теореме) и связанных между собой высказываний. Под теоремой понимают всегда истинное высказывание. Теоремы часто формулируют в виде импликаций вида . Такая импликативная структура утверждения (теоремы) удобна для выделения УСЛОВИЯ и ЗАКЛЮЧЕНИЯ теоремы. Если импликация  выражает теорему, то высказывание   есть условие теоремы, а высказывание   – заключение теоремы. Конечно, сами условия и заключения теоремы могут иметь определенную логическую структуру (как правило, это конъюнкция или дизъюнкция высказываний более элементарных).

Теорема может быть записана в виде схемы:


Разъяснительная часть теоремы содержит кванторы.

Обратная и противоположные теоремы

Если при неизменной разъяснительной части (р.ч.) в теореме  рассмотреть импликации , ,  и они истинные высказывания, то получим соответственно следующие
утверждения:

  – обратная (по отношению к исходной – прямой теореме) теорема;

  – противоположная теорема;

  – обратная противоположной теорема.

С помощью таблицы истинности этих импликаций:

И

И

Л

И

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

И

И

Л

И

Л

Л

И

И

Л

И

Л

И

И

Л

И

И

можем обосновать эквивалентность прямой и обратной противоположной теорем, а также обратной и противоположной теорем, т.е.  и .

Заметим, что истинность теорем доказывается на основе предложений, доказанных ранее или же принятых без доказательства в качестве аксиом.

ПРИМЕР. Рассмотрим в качестве прямой теоремы утверждение:
если последовательность сходится, то она ограничена, т.е.

; [ – сходится]  [ – ограниченная]

 разъясн. часть условие теоремы заключение

или

  .

ОБРАТНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:

  ; [ – ограниченная]  [ – сходится]

является ложным, так как можно привести пример ограниченной последовательности, которая не имеет конечного предела, например, последовательность .

Итак, : [ – ограниченная]  [ – сходится].

Тем самым построили КОНТРПРИМЕР, показывающий ложность обратного утверждения к прямой теореме.

ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:

;  [ – не сходится]  [ – неограниченная] является ложным, так как можно построить КОНТРПРИМЕР, т.е.
указать такую последовательность, которая не имеет конечного
предела, но является ограниченной, например .


На главную