Математическая логика Предел и непрерывность функции Непрерывность функции в точке Вычислить производную функции Вычислить интеграл Метод замены переменной


Конспект лекций по математике

Некоторые понятия и операции математической логики

Для описания области истинности предиката используют кванторы:

  – квантор ОБЩНОСТИ, который читается "для всех", "все",
"каждый", "всякий" и т.д.;

  – квантор СУЩЕСТВОВАНИЯ, который читается "существует", "найдется", "можно указать" и т.д.

Запись   означает: для всякого элемента   из
множества  истинно утверждение .

Запись   означает: существует элемент ,
такой, что для него истинно утверждение .

Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Если элемент  из множества , для которого истинно высказывание , не только существует, но и единственный, то записывают .

Каждая из приведенных здесь записей, использующих кванторы, является высказыванием.

Кванторы  и   связаны между собой в смысле приведенного определения, а именно: для любого утверждения  имеет место соотношение

,

т.е. отрицание высказывания  имеет вид  (существует элемент , такой, что для него утверждение  является ложным). Аналогично

.

ПРИМЕР. Используя символику, построить отрицание высказывания .

РЕШЕНИЕ. Заданное высказывание является ложным. Его отрицание – истинное высказывание – и строится так: , например,

.

Для двуместных, трехместных и т.д. высказывательных форм отрицание соответствующих высказываний строим формально:

кванторы последовательно заменяются на противоположные;

отрицается предикат.

ПРИМЕР. Задано высказывание

, ,

здесь   – действительные числа.

Прочитать высказывание, выяснить его смысл, установить – истинно оно или ложно, построить отрицание высказывания.

РЕШЕНИЕ. Записано высказывание: существуют действительные числа   и , такие, что оба они положительны, причем   и . Высказывание ложное, так как равенству   могут удовлетворять ненулевые числа только противоположные по знаку. Отрицание заданного высказывания есть высказывание

   .

Для построения отрицания дизъюнкции и конъюнкции высказываний можно применить ПРАВИЛА де Моргана:

.

Для рассматриваемого в примере высказывания имеем отрицание: ,  . Это высказывание является истинным, поскольку 1) при  истинно , а 2) при ,  или ,  истинно утверждение  (см. таблицу истинности дизъюнкции высказываний).


На главную