Математическая логика Предел и непрерывность функции Непрерывность функции в точке Вычислить производную функции Вычислить интеграл Метод замены переменной


Конспект лекций по математике

Некоторые понятия и операции математической логики

ПРИМЕРЫ

Если  – истинное высказывание, то высказывание не  построится так:  или , т.е.  – ложное.

Пусть высказывания  заданы (для конкретного четырехугольника).

: Противоположные стороны  и   в четырехугольнике  параллельны, .

: Длины противоположных сторон  и  в четырехуголь-нике  равны, .

Найти многочлен, приближающий заданную функцию f(x) в окрестности точки x0 с точностью до о((x  x0)3): f(x)=sin(ex  1), x0 = ln .

: Четырехугольник  есть параллелограмм.

Тогда , т.е. высказывание   есть конъюнкция высказываний  и , причем  – истинно тогда и только тогда, когда
истинны высказывания  и  (одновременно). Если же хотя бы
одно из высказываний  и  ложно, то их конъюнкция  так же является ложным высказыванием.

Высказывание :  ( – конкретное число) следует понимать как дизъюнкцию высказываний  и , т.е. . Причем высказывание  истинно тогда, когда хотя бы одно из высказываний  и  истинно;  ложно тогда, когда оба высказывания  и  ложные (одновременно!).

Пусть : В треугольнике  длины сторон   и  равны, ;

: В треугольнике  углы при основании  равны, .

Тогда, как известно, высказывание  истинное, т.е.
высказывания   и  эквивалентны; каждое из них может быть взято в качестве определения равнобедренного треугольника, в то время как другое высказывание выражает свойство равнобедренного
треугольника.

Рассмотрим высказывания:

: Число   делится на 10, .

: Число  делится на 5,  ( – конкретное число).

Тогда можно построить новое высказывание: если , то  (); читается так: "если число  делится (нацело) на 10, то оно делится (нацело) на 5", оно истинное.

Применяемые в математике высказывания обычно представляют собой описание свойств каких-либо математических объектов или описание отношений (взаимосвязей), существующих между этими объектами. Для описания математических ОПРЕДЕЛЕНИЙ применяется, как правило, знак логического тождества в виде , или , или  (definition – определение). Для записи математических ТЕОРЕМ применяются знаки логических операций: импликация  (если …, то …) и эквиваленция  (… тогда и только тогда,
когда …).

Математические утверждения, в которых имеются неизвестные (одно неизвестное –  или несколько – ), не обязательно являются высказываниями. Они становятся высказываниями лишь при конкретном значении этих неизвестных.

Например, неравенство  может быть И или Л при
конкретных значениях переменной  (записывают ) и
говорят, что   – высказывательная форма, соответствующая
предикату . Предикат можно определить как логическую функцию соответственно одной или нескольких переменных, принимающую значение из множества . Для задания области истинности
предиката   в рассматриваемом примере достаточно решить неравенство  или ; множество значений  – область истинности рассматриваемого предиката.

Поскольку высказывательная форма  зависит от одной
переменной, то ее называют одноместной. Нетрудно привести другие примеры одноместных, двуместных и т.д. высказывательных форм и им соответствующих предикатов.


На главную