Математическая логика Предел и непрерывность функции Непрерывность функции в точке Вычислить производную функции Вычислить интеграл Метод замены переменной


Конспект лекций по математике

Элементы теории множеств Понятие "множество" – неопределяемое понятие. Под множеством понимается "набор", "коллекция", "совокупность" и т.п. отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Предметы или объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Операции над множествами названиями похожи на арифметические операции, но существенно другие.

Доказать, что . РЕШЕНИЕ. Два множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

Множество всех четных чисел  эквивалентно множеству . В самом деле, отображение (правило)  устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами  и .

Не всякое бесконечное множество является счетным

Если  – истинное высказывание, то высказывание не  построится так:  или , т.е.  – ложное.

Для описания области истинности предиката используют кванторы

Всякая теорема в математике состоит из разъяснительной части (описания тех объектов, о которых идет речь в теореме) и связанных между собой высказываний. Под теоремой понимают всегда истинное высказывание. Теоремы часто формулируют в виде импликаций вида .

Обратная противоположная теорема

Свойтва числовых множеств

Некоторые понятия и операции математической логики

Для записи определений, теорем, математических рассуждений в курсе высшей математики целесообразно применять символику, используемую в математической логике.

Одним из первоначальных понятий математической логики
является понятие "ВЫСКАЗЫВАНИЕ" – повествовательное предложение, которое может быть истинным (сокр. И) или ложным (сокр. Л).

Например, высказывание А:  (Л); здесь записано предложение "сумма чисел 1 и 2 равна числу 4", которое является неверным (ложным).

В математике рассматриваются утверждения, являющиеся
высказываниями, их истинность устанавливается с помощью доказательства. В математической логике отвлекаются от содержания
высказываний и изучают только их истинность или ложность.

Из нескольких высказываний с помощью теоретико-высказывательных связок (логических операций) можно составить новые более сложные высказывания. Обычно рассматриваются такие комбинации высказываний, в которых истинность или ложность новых высказываний определяются истинностью или ложностью
составляющих высказываний.

Далее приведены операции, их названия и для лучшего запоминания их таблицы истинности.

Некоторые операции над высказываниями

Обозначение

Название

Как читается

Значения

истинности

  или

Отрицание высказывания

не

И

Л

Л

И

Конъюнкция двух высказываний

  и 

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

Л

Л

Дизъюнкция двух высказываний

  или 

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

И

И

Л

Импликация; логическое следование

если , то ;

  влечет

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

Эквиваленция; эквивалентность двух высказываний

  тогда и только тогда, когда ;

  эквивалентно 

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

Л

И

Заметим, что каждая логическая операция над высказываниями приводит к высказыванию, истинность или ложность которого устанавливается через истинность или ложность исходных высказываний по соответствующей таблице истинности.


На главную