Математическая логика Предел и непрерывность функции Непрерывность функции в точке Вычислить производную функции Вычислить интеграл Метод замены переменной


Конспект лекций по математике

Теорема Ферма

Теорема Лагранжа

Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

Разложить функцию  в окрестности точки , взяв . РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Маклорена при .

Исследование функции и построение ее графика

ТЕОРЕМА (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Неопределенный интеграл Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении закона прямолинейного движения  материальной точки по заданной ее скорости . Решение сформулированной задачи основано на понятии первообразной функции.

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции

ПРИМЕР. Вычислить производную функции  на ОДЗ.

РЕШЕНИЕ. Можно дифференцировать последовательно: сначала логарифмированную функцию, затем по формулам производной дроби и произведения. На проще сначала выражение прологарифмировать, а затем уже дифференцировать. Получим

  и т.д.

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции

,  – любое.

; здесь используются свойства непрерывности функции  на , первый замечательный предел и теорема о пределе произведения. Итак, получим ,  – любое; формальная запись

.

Для ,  обратная функция  и тождество , . Отсюда имеем  или , знак выбираем, исходя из характера монотонности обратной функции. Итак, .

Для сложной функции  в сокращенной записи
имеем формулу

.

,  – любое.

Поскольку , то  . Итак, имеем , а также

.

Для функций  и , , справедливо тождество

.

Поэтому .

Для сложной функции запишем

.

, .

, т.е.  и

.

Для ,  – любое, , обратная функция , поэтому имеем .

Итак,   и

.

.

,

т.е.  и

.

Дифференцируя тождество ,  – любое,
получаем , записываем

.


На главную