Математическая логика Предел и непрерывность функции Непрерывность функции в точке Вычислить производную функции Вычислить интеграл Метод замены переменной


Конспект лекций по математике

Элементы теории множеств.

ПРИМЕР. Доказать, что .

РЕШЕНИЕ. Два множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

Пусть , т.е. , и , т.е.  и  (одновременно), но тогда из того, что  имеем , аналогично

, т.е. . Итак, .

С другой стороны, если , то  т.е.  отсюда имеем  и , т.е.  и поэтому .

Совпадение множеств обосновано.

По количеству элементов множества классифицируются: пустое множество, конечное и бесконечное множества.

Пусть  и – два множества (непустые). Если существует
отображение (закон)   такой, что

всякому  соответствует образ ;

всякому   соответствует прообраз , такой, что ;

различным прообразам  и   соответствуют
несовпадающие образы ,

то говорят, что правило  определяет взаимно-однозначное соответствие между множествами  и ; при этом множества называют эквивалентными и записывают ~.

Множество  – конечное, если существует натуральное число , такое, что ~.

Множество  – бесконечное, если оно не является конечным, т.е. для любого натурального числа  множество  не эквивалентно множеству .

Количественная характеристика всякого бесконечного множества, обобщающая понятие количества элементов конечного множества, – МОЩНОСТЬ множества.

Множеству всех эквивалентных множеств сопоставляется
символ – мощность. Всякие два множества имеют одинаковую
мощность, если они эквивалентны. Иногда эквивалентные множества называются равномощными.

Бесконечное множество  называется счетным, если оно эквивалентно множеству всех натуральных чисел

( – бесконечное счетное)  ( ~),

т.е. для каждого счетного множества всякий его элемент сопоставим "номеру" и только одному и при этом все "номера" исчерпаны (иногда говорят, что элементы счетного множества можно "перенумеровать").


На главную