Математическая логика Предел и непрерывность функции Непрерывность функции в точке Вычислить производную функции Вычислить интеграл Метод замены переменной


Конспект лекций по математике

Непрерывная в точке функция локально ограничена. Арифметические операции: сложение, разность и произведение конечного множества непрерывных в одной и той же точке функций – определяют функцию, непрерывную в той же точке. Деление непрерывных функций определяет непрерывную функцию в любой точке, кроме нулей знаменателя.

Непрерывность функции на множестве Функция , , называется непрерывной на множестве , или говорят, что функция  принадлежит множеству всех функций, непрерывных на множестве  (сокр. ), если она непрерывна в каждой точке множества .

Теорема Вейерштрасса

Производная функции в точке

Показать по определению дифференцируемость функции  в произвольной точке

Правила дифференцирования.

Производная обратной функции Понятие ОБРАТИМОСТИ функции относится к свойствам функции на множестве (глобальное свойство). Будем рассматривать функцию , ; здесь  – область задания функции:  – множество значений функции.

Формулы производных конкретных функций

Непрерывность функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (непрерывность в точке). Пусть функция  задана на , . Тогда

( – непрерывна в точке ) .

Итак, непрерывность в точке функции предполагает задание функции в самой точке   (конечная точка) и в некоторой ее окрестности, при этом должны выполняться условия:

существование конечного предела функции в конечной точке;

значение предела совпадает со значением функции в этой точке.

Понятие точки разрыва функции

Пусть , , . Тогда если точка  не является точкой непрерывности функции , то она – точка разрыва функции. При  или  также возможен "разрыв" слева или справа функции
(см. рисунок), если   рассматривается на .

Условия непрерывности функции в точке могут нарушаться в следующих ситуациях (классификация точек разрыва):

, но ;  – точка устранимого разрыва; на рисунке это точки , ;

, , но ;  – точка разрыва первого рода;  – скачок функции в точке ; на рисунке это точка , , ;

  – точка разрыва второго рода в остальных случаях; на рисунке это точки  и .

Свойства (локальные) функции, непрерывной в точке, можно перефразировать, исходя из соответствующих теорем о функциях, имеющих конечный предел в конечной точке. Перечислим некоторые из них.


На главную