Математическая логика Предел и непрерывность функции Непрерывность функции в точке Вычислить производную функции Вычислить интеграл Метод замены переменной


Конспект лекций по математике

Элементы теории множеств.

Считаем, что сравнение действительных чисел, операции над действительными числами, свойства этих операций известны из школьного курса математики.

Операции над множествами названиями похожи на арифметические операции, но существенно другие.

ОБЪЕДИНЕНИЕ (сумма) множеств  и , обозначается , есть множество, каждый элемент которого принадлежит множеству  или множеству   (хотя бы одному из объединяемых множеств), т.е. .

Для иллюстрации операции можно пользоваться диаграммой: если  и  состоят из точек внутри соответствующих овалов
(см. рисунок), то  – множество всех точек заштрихованной области, причем общие точки используются в качестве элементов объединения только один раз.

ПРИМЕР. Если  и , то .

Запись   означает, что  и  (одновременно).

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (произведение) множеств  и , обозначается , есть множество, каждый элемент которого принадлежит
множеству  и множеству  (одновременно), т.е. .

На диаграмме  соответствует общей части овалов.

ПРИМЕР. Если  и , то .

Запись   означает, что  или  (хотя бы одному).

РАЗНОСТЬ множеств , т.е. это множество, каждый элемент которого принадлежит множеству  и не
принадлежит множеству .

Например, если  и , то .

На диаграмме множество  соответствует тем точкам
множества , из которых удалены точки множества .

Иногда рассматривается симметрическая разность двух
множеств.

.

Если рассматриваются подмножества одного и того же множества, то это множество иногда называется универсальным и обозначается через . Например, числовые промежутки – подмножества множества , в этом смысле   – универсальное множество.

Если   – универсальное множество и , то ДОПОЛНЕНИЕ множества  (до универсального множества) есть разность

.

Геометрически множество  соответствует всем тем точкам
из , которые не принадлежат , итак, .

Непосредственно проверкой можно установить справедливость следующих (основных) свойств введенных теоретико-множественных операций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. Законы де Моргана:

  .


На главную