Математическая логика Предел и непрерывность функции Непрерывность функции в точке Вычислить производную функции Вычислить интеграл Метод замены переменной


Конспект лекций по математике

В определении предела значение функции в точке  не участвует, поэтому функция  в точке  может быть не определена (не задана).

Для удобства изучения и геометрического представления последовательности обычно переобозначают   и последовательность  изображают точками на числовой оси.

Числовая последовательность – множество значений функции, определенной на множестве всех натуральных чисел, записанное в порядке возрастания , т.е. .

Показать по определению . . Показать .

Показать, что  не существует.

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей при  конечный предел

Теорема о переходе к пределу в равенстве Контрпример. Пусть , , тогда .

Но сумма функций может быть представлена слагаемыми (неоднозначно), например в виде  и , и пределы слагаемых при  не являются конечными числами (не существуют).

Первый замечательный предел .

Сравниваем две б\м при  функции и устанавливаем их эквивалентность .

Односторонние пределы

Второй замечательный предел .

Предел и непрерывность функции одной переменной

 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПРИ

Понятие предела функции  при , стремящемся к  (сокр. ), является основным понятием математического анализа. Оно характеризует поведение функции  вблизи точки , т.е. существование предела и его значение определяют локальное свойство .

Для математического описания  требуются специальные термины. Введем их.

Множество  – окрестность конечной точки , , радиуса  (сокр.  – –окрестность точки ); очевидно, что .

Множество  будем называть "выколотой" или "проколотой" –окрестностью точки  и обозначать ; очевидно, что .

Множество  –  – окрестность беско-нечности; расширяем множество всех действительных чисел символом ,
создавая возможность . Очевидно, что .

Заметим, что пересечение двух окрестностей одной и той же точки – снова окрестность этой же точки, а именно

, где ;

, где .

Точка   называется предельной точкой множества , , если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка из
множества , отличная от , т.е.

( – предельная точка для )  ().

Если   – предельная точка множества , то в  (,
  – произвольное число) можно построить последовательность , , сходящуюся к  ( при ). Для
этого выбираем точки по определению:

;

;

 и т.д.

Заметим, что предельная точка множества может принадлежать множеству, а может и не принадлежать ему. Например, для  каждая его точка предельная, причем  также предельная точка этого множества, но .

Далее будем рассматривать функцию , ;  – предельная точка множества .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ предела функции (по Коши)

Пусть  – конечная точка или ;  – конечное число или . Тогда

,

т.е.  есть предел функции   при  тогда и только тогда, когда для всякого положительного числа  умеем указывать (найдется, существует) число  такое, что для каждого значения , , из  – окрестности точки  соответствующее значение функции  принадлежит  – окрестности .



На главную