Математическая логика Предел и непрерывность функции Непрерывность функции в точке Вычислить производную функции Вычислить интеграл Метод замены переменной


Конспект лекций по математике

Элементы теории множеств

Понятие "множество" – неопределяемое понятие. Под множеством понимается "набор", "коллекция", "совокупность" и т.п. отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством.

Предметы или объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Обычно множества обозначают большими буквами , а их элементы – малыми буквами  преимущественно латинского алфавита.

Если  – элемент множества , то говорят: " принадлежит " и записывают , в противном случае  или  и читают: "" не принадлежит ".

Отношения между множествами определяются соотношениями:

 – множество  является подмножеством множества ; при этом каждый элемент множества  является элементом множества ;

  – множество  является собственным  подмножеством множества ; здесь существует хотя бы один элемент
множества , не принадлежащий множеству ;

  – равны множества, если одновременно  и .

Очевидны свойства:

пустое множество  является собственным подмножеством всякого не пустого множества, т.е. ; любое множество – несобственное подмножество самого себя, т.е. ; для произвольных множеств  если  и , то .

Задать множество можно либо перечислением всех его элементов, либо указанием характеристического свойства элементов множества. Например, множество  – задано перечислением его четырех элементов. Множество  состоит из натуральных чисел, таких, что квадрат этих чисел равен
единице, т.е. .

Заметим, что в последующем широко пользуемся обозначениями:

  – множество всех натуральных чисел;

  – множество всех целых чисел;

  – множество всех рациональных чисел;

  – множество всех иррациональных чисел (чисел, не являющихся рациональными);

  – множество всех действительных чисел; составлено из всех чисел множеств  и ;

  – интервал;

– полуинтервал;

  – сегмент (отрезок);

 – полусегмент;

здесь  – действительные числа ; множества – числовые промежутки.


На главную