Теоретическая механика

Кручение

Чистый сдвиг

Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис. 79, а), поэтому деформация чистого сдвига отнесена к теме «кручение».

Рассмотрим элемент abed, вырезанный из тонкостенной трубы (рис. 79, б).

При возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань ad закрепленной, то грань bс

сдвинется в положение b1c1. Прямые углы между гранями изменяются на величину γ. Угол γ , представляющий собой изменение первоначально прямого угла между гранями элементарного параллелепипеда, называется углом сдвига.

Касательные напряжения τ и угол сдвига γ, называемый также относительным сдвигом, связаны прямой пропорциональностью, то есть законом Гука:

Входящая в эту формулу величина G называется модулем сдвига. Эта величина характеризует жесткость материала при деформации сдвига. Так как γ выражается отвлеченным числом, то модуль сдвига G, как и модуль продольной упругости Е, имеет ту же единицу измерения, что и напряжение: МПа, Н/мм2, кгс/см2.

Между модулем упругости Е и модулем сдвига G существует зависимость, которую приводим без вывода:

где μ — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). [an error occurred while processing this directive]

Для стали μ = 0,25; G = 0,4 Е = 0,4.2.105 = 8.104 МПа. Приведенные соотношения между G и Е подтверждаются опытами.

Основные понятия. Эпюры крутящих моментов

На кручение обычно работают брусья круглого поперечного сечения, например валы и витки цилиндрических пружин.

Кручение возникает при нагружении бруса парами сил, расположенными в плоскостях, перпендикулярных продольной оси бруса (рис. 80).

Моменты этих пар Mвр называют вращающими моментами. Их алгебраическая сумма равна нулю, если вал находится в равновесии и вращается равномерно. Величину вращающего момента Мвр можно вычислить по передаваемой мощности Р и частоте вращения n:

Эта формула дает величину момента в Н.м, если мощность выражена в Вт, а частота в об/мин.

Момент внутренних сил относительно продольной оси бруса называют крутящим моментом Мк. При кручении в поперечных сечениях бруса возникает один внутренний силовой фактор — крутящий момент Мк. Он определяется при помощи метода сечений.

Теорема о проекциях: при любом движении твердого тела проекции скоростей любых двух его точек на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой (рис. 2.26).

 

 Рис. 2.26. К теореме о проекциях

Спроецируем на ось x, проходящую через точки А и В формулу (2.41). Так как   ^ AB, получаем

 ,

что и требовалось доказать.

Работа силы. Мощность. Элементарная работа dA = Ftds, Ft – проекция силы на касательную к траектории, направленная в сторону перемещения, или dA = Fdscosa.

Если a – острый, то dA>0, тупой – <0, a=90o: dA=0. dA= – скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения; dA= Fxdx+Fydy+Fzdz – аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М0М1: . Если сила постоянна, то = F×s×cosa. Единицы работы:[1 Дж (джоуль) = 1 Нм].

, т.к. dx=dt и т.д., то .

Когда вращение от двигателя передается при помощи передаточного вала нескольким рабочим машинам, крутящий момент не остается постоянным по длине вала. Характер изменения крутящего момента по длине вала наиболее наглядно может быть представлен эпюрой крутящих моментов. Расчеты на прочность и жесткость при кручении Пример. По данным примера 16 определить диаметр вала, удовлетворяющий условиям прочности и жесткости на наиболее напряженном участке. Материал вала — сталь 40. Допускаемое напряжение на кручение [τк] = 30 МПа, допускаемый угол закручивания [θ°] = 1.10-2 рад/м = 10.10-5 рад/мм; модуль сдвига G = 8.104 Н/мм2. Справедлив ли закон Гука при кручении, если напряжение не превышает предела пропорциональности?


На главную