Теоретическая механика

Основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела

Определим зависимость между приложенными к вращающемуся телу силами и сообщаемым ему угловым ускорением ε (рис. 145).

Рассмотрим элементарную частицу тела dm и приложим к ней нормальную и касательную составляющие силы инерции. Приложив силы инерции ко всем частицам тела, получим уравновешенную систему сил. Применим к этой системе уравнения равновесия. Алгебраическую сумму вращающихся моментов внешних сил  относительно оси вращения у обозначим.

Нормальные силы инерции пересекают ось вращения и не создают относительно нее момента. Касательные силы инерции создают моменты относительно оси вращения. Плечом касательной

силы инерции  каждой точки является соответствующий радиус .

Направление суммарного момента этих сил противоположно направлению углового ускорения ε и вращающего момента, так как касательная сила инерции любой точки направлена противоположно ее касательному ускорению. Значение касательной силы инерции точек вращающего тела определяется по формуле

Составим уравнение моментов относительно оси вращения у:

Откуда

 

Подставив значение  , получим

Вынесем значение углового ускорения г за знак суммы как величину, одинаковую для всех точек тела, получим

 . [an error occurred while processing this directive]

Множитель при ε — знакомая нам величина; это момент инерции тела относительно оси у

Окончательно получим

Это основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вращения. Из уравнения (183) следует, что

Чем больше момент инерции тела, тем больший вращающий момент следует приложить для сообщения телу определенного углового ускорения ε . Поэтому момент инерции массы можно рассматривать как меру инертности твердого тела во вращательном движении аналогично тому, как масса служит мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении.

Упражнение

1. Вычислите изменение кинетической энергии точки массой 20 кг, если ee скорость увеличилась с 10 до 20 м/с.

2. Как изменится кинетическая энергия прямолинейно движущейся точки, если ее скорость увеличится в два раза?

А. Увеличится в два раза. Б. Увеличится в четыре раза.

3. Чему равна работа силы, приложенной к прямолинейно движущемуся телу массой 100 кг, если скорость тела увеличилась с 5 до 25 м/с?

Таким образом, для определения положение плоской фигуры S (а, следовательно,  и всего объемного тела) в любой момент времени необходимо знать зависимости:

   . (2.40)

Уравнения (2.40) называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. Произвольная точка А , выбранная для определения положения плоской фигуры, называется полюсом.

Первые два из уравнений (2.40) определяют поступательное движение фигуры S, при котором все ее точки движутся так же как полюс А (см. свойства поступательного движения). Очевидно, что вид этих уравнений будут зависеть от выбора полюса. Вид третьего уравнения, описывающего вращательную часть движения плоской фигуры S, а также ее угловая скорость  и угловое ускорение , от выбора полюса не зависят.


На главную