Теоретическая механика

Уравнение движения точки

В общем случае точка может двигаться по криволинейной траектории. Для изучения криволинейного движения точки необходимо уметь определить ее положение в назначенной системе отсчета (системе координат) в любой момент времени.

Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения, Наиболее удобный способ задания движения точки — естественный способ. При этом задается траектория точки (графически или аналитически) и закон движения точки по траектории.

Пусть произвольная точка А перемещается по заданной траектории (рис. 116, а). Принимая точку 0 за начало отсчета, уравнение движения можно представить в виде

где 5 — расстояние точки А от начала отсчета; I — время.

Положение движущейся в плоскости точки (рис. 116, б) можно определить, если известны ее координаты х и у относительно системы двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, следовательно, х и у являются некоторыми функциями времени и определяют движение точки:

Такой способ задания движения точки называется координатным. С помощью уравнений движения (121) можно найти траекторию точки. Для этого из них нужно исключить параметр — время I — и найти зависимость между координатами точки

 

Пример. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени и определяются уравнениями:

Найти уравнения траектории движения точки.

Решение. Из уравнения (б) находим t = у/5 = 0,2 y. Подставляя значение t в уравнение (а), получим уравнение траектории

Уравнение (в) показывает, что траектория движения точки представляет собой прямую линию.

Вращательное движение твердого тела

Движение твердого тела, при котором все точки, лежащие на некоторой прямой, принадлежащей телу или неизменно с ним связанной, остаются неподвижными в рассматриваемой системе отсчета, называется вращательным движением. Упомянутая выше прямая называется осью вращения.

 

 Рис. 2.18. Вращение тела вокруг неподвижной оси

Очевидно, что все точки тела, не лежащие на оси вращения, будут двигаться по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Положение тела при вращательном движении можно однозначно определить углом  между неподвижной полуплоскостью I и подвижной, вращающейся вместе с телом, полуплоскостью II, проходящими через ось вращения. Положительным направлением отсчета угла называемого также угловой координатой, принято считать вращение против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу оси вращения z . Сам угол  принято измерять в радианах.

Работа силы трения: если сила трения const, то  - всегда отрицательна, Fтр=fN,  f – коэфф.трения, N – нормальная реакция поверхности.

Работа силы тяготения. Сила притяжения (тяготения): , из mg=, находим коэфф. k=gR2.   – не зависит от траектории.

Скорость точки Рассмотрим некоторые основные определения, важные для последующего изложения. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение называется равномерным.

Ускорение точки При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.

Виды движения точки в зависимости от ускорения Рассмотрим возможные случаи движения точки и проанализируем выведенные выше формулы для касательного и нормального ускорений.

Изменение угловой скорости в единицу времени определяется угловым ускорением, равным производной угловой скорости по времени


На главную